Решите уравнение $4\sin x + \cos^2 x - \sin 2x - 4 = 0$

Нам дано уравнение: $$4\sin x + \cos^2 x - \sin 2x - 4 = 0$$ Используем тригонометрические тождества: 1. $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ 2. $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ Подставляем эти тождества в уравнение: $$4\sin x + (1 - \sin^2 x) - 2\sin x \cos x - 4 = 0$$ $$4\sin x - \sin^2 x - 2\sin x \cos x - 3 = 0$$ Это уравнение сложно решить сразу. Перепишем его, используя $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ и разделив на $\cos^2 x$ (при условии $\cos x \neq 0$). Используем тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ и $\sin 2x = 2\sin x \cos x$. Уравнение становится: $$4\sin x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x - 4 = 0$$ Заменим $4 = 4 \cdot 1 = 4 (\sin^2 x + \cos^2 x)$: $$4\sin x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x - 4(\sin^2 x + \cos^2 x) = 0$$ $$4\sin x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x - 4\sin^2 x - 4\cos^2 x = 0$$ $$-4\sin^2 x + 4\sin x - 3\cos^2 x - 2\sin x \cos x = 0$$ $$-4\sin^2 x + 4\sin x - 3(1-\sin^2 x) - 2\sin x \cos x = 0$$ $$-4\sin^2 x + 4\sin x - 3 + 3\sin^2 x - 2\sin x \cos x = 0$$ $$-\sin^2 x + 4\sin x - 3 - 2\sin x \cos x = 0$$ Умножим на -1: $$\sin^2 x - 4\sin x + 3 + 2\sin x \cos x = 0$$ $$\sin^2 x - 4\sin x + 3 + \sin 2x = 0$$ Это не упрощает решение. Попробуем другой подход. Мы имеем $4\sin x + \cos^2 x - \sin 2x - 4 = 0$. Заменим $\cos^2 x$ на $1 - \sin^2 x$ и $\sin 2x$ на $2\sin x \cos x$: $$4\sin x + (1 - \sin^2 x) - 2\sin x \cos x - 4 = 0$$ $$-\sin^2 x + 4\sin x - 2\sin x \cos x - 3 = 0$$ Умножим на -1: $$\sin^2 x - 4\sin x + 2\sin x \cos x + 3 = 0$$ Теперь разделим все на $\cos^2 x$. (Допущение: $\cos x \neq 0$) $$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{4\sin x}{\cos^2 x} + \frac{2\sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{3}{\cos^2 x} = 0$$ $$\tan^2 x - 4\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{1}{\cos x} + 2\frac{\sin x}{\cos x} + 3\frac{1}{\cos^2 x} = 0$$ $$\tan^2 x - 4\tan x \sec x + 2\tan x + 3\sec^2 x = 0$$ Заменим $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$: $$\tan^2 x - 4\tan x \sec x + 2\tan x + 3(1 + \tan^2 x) = 0$$ $$\tan^2 x - 4\tan x \sec x + 2\tan x + 3 + 3\tan^2 x = 0$$ $$4\tan^2 x + 2\tan x - 4\tan x \sec x + 3 = 0$$ Это уравнение выглядит сложнее, чем исходное. Вернемся к началу. Запишем уравнение в виде: $$4\sin x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x - 4 = 0$$ Перепишем 4 как $4 \cdot 1 = 4(\sin^2 x + \cos^2 x)$: $$4\sin x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x - 4(\sin^2 x + \cos^2 x) = 0$$ $$4\sin x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x - 4\sin^2 x - 4\cos^2 x = 0$$ $$(-4\sin^2 x - 3\cos^2 x) + (4\sin x - 2\sin x \cos x) = 0$$ $$4\sin^2 x + 3\cos^2 x - 4\sin x + 2\sin x \cos x = 0$$ Заменим $3\cos^2 x = 3(1-\sin^2 x)$: $$4\sin^2 x + 3 - 3\sin^2 x - 4\sin x + 2\sin x \cos x = 0$$ $$\sin^2 x - 4\sin x + 3 + 2\sin x \cos x = 0$$ $$\sin^2 x - 4\sin x + 3 + \sin 2x = 0$$ Допущение: Решим это уравнение как однородное, но сначала нужно убедиться, что оно однородное или свести его к такому виду. Если мы поделим на $\cos^2 x$, получим: $$\tan^2 x - 4\tan x + 3 + 2\tan x = 0$$ $$\tan^2 x - 2\tan x + 3 = 0$$ Это квадратное уравнение относительно $\tan x$. Пусть $t = \tan x$. Тогда: $$t^2 - 2t + 3 = 0$$ Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$$ Так как $D < 0$, это квадратное уравнение не имеет действительных корней. Мы допустили, что $\cos x \neq 0$. Проверим случай $\cos x = 0$. Если $\cos x = 0$, то $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. При $\cos x = 0$, $\sin x = \pm 1$. Рассмотрим исходное уравнение: $$4\sin x + \cos^2 x - \sin 2x - 4 = 0$$ Если $\cos x = 0$, то $\sin 2x = 2\sin x \cos x = 0$. Уравнение принимает вид: $$4\sin x + 0 - 0 - 4 = 0$$ $$4\sin x - 4 = 0$$ $$4\sin x = 4$$ $$\sin x = 1$$ Это соответствует случаю $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Таким образом, когда $\cos x = 0$ и $\sin x = 1$, уравнение имеет решения. Мы не потеряли корни при делении на $\cos^2 x$, так как в случае, когда $\cos x = 0$, уравнение имеет решение только при $\sin x = 1$, а это приводит к $\tan x$ неопределенному, что согласуется с отсутствием действительных корней для $t^2 - 2t + 3 = 0$. Значит, если мы не допустили ошибку в преобразованиях, то действительных решений у исходного уравнения нет. Проверим преобразование к $\tan^2 x - 2\tan x + 3 = 0$. Исходное уравнение: $4\sin x + \cos^2 x - \sin 2x - 4 = 0$ $4\sin x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x - 4 = 0$ Разделим на $\cos^2 x$: $$\frac{4\sin x}{\cos^2 x} + 1 - \frac{2\sin x}{\cos x} - \frac{4}{\cos^2 x} = 0$$ $$\frac{4\sin x}{\cos x} \cdot \frac{1}{\cos x} + 1 - 2\tan x - 4(1+\tan^2 x) = 0$$ $$4\tan x \sec x + 1 - 2\tan x - 4 - 4\tan^2 x = 0$$ $$4\tan x \sec x - 4\tan^2 x - 2\tan x - 3 = 0$$ Это не привело к простому квадратному уравнению. Возможно, я сделал ошибку в самом начале преобразования. Начнем снова с: $$4\sin x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x - 4 = 0$$ Заменим $-4 = -4(\sin^2 x + \cos^2 x)$: $$4\sin x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x - 4(\sin^2 x + \cos^2 x) = 0$$ $$4\sin x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x - 4\sin^2 x - 4\cos^2 x = 0$$ $$-4\sin^2 x + 4\sin x - 3\cos^2 x - 2\sin x \cos x = 0$$ Умножим на $-1$: $$4\sin^2 x - 4\sin x + 3\cos^2 x + 2\sin x \cos x = 0$$ Разделим на $\cos^2 x$ (предполагаем $\cos x \neq 0$): $$4\tan^2 x - \frac{4\sin x}{\cos^2 x} + 3 + \frac{2\sin x}{\cos x} = 0$$ $$4\tan^2 x - 4\tan x \sec x + 3 + 2\tan x = 0$$ Здесь остался $\sec x$, что не позволяет свести к квадратному уравнению по $\tan x$. Значит, моя первая попытка свести к $\tan^2 x - 2\tan x + 3 = 0$ была ошибочной. Давай ещё раз проверим шаги. Исходное уравнение: $4\sin x + \cos^2 x - \sin 2x - 4 = 0$ Преобразуем $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ и $\sin 2x = 2\sin x \cos x$: $4\sin x + (1 - \sin^2 x) - 2\sin x \cos x - 4 = 0$ $4\sin x - \sin^2 x - 2\sin x \cos x - 3 = 0$ Это уравнение, если оно однородное, должно быть вида $A\sin^2 x + B\sin x \cos x + C\cos^2 x = 0$. У нас есть $\sin^2 x$, $\sin x \cos x$, но нет $\cos^2 x$. Мы можем добавить $0 = 0 \cdot \cos^2 x$. Уравнение: $$(-\sin^2 x) - (2\sin x \cos x) + (4\sin x - 3) = 0$$ Попробуем заменить $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ и выразить $\cos x = \pm \sqrt{1 - \sin^2 x}$. Это усложнит уравнение. Посмотрим на структуру: $4\sin x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x - 4 = 0$ Представим $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ и $4 = 4 \cdot 1 = 4(\sin^2 x + \cos^2 x)$. $4\sin x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x - 4(\sin^2 x + \cos^2 x) = 0$ $4\sin x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x - 4\sin^2 x - 4\cos^2 x = 0$ $-4\sin^2 x - 3\cos^2 x - 2\sin x \cos x + 4\sin x = 0$ Умножим на $-1$: $4\sin^2 x + 3\cos^2 x + 2\sin x \cos x - 4\sin x = 0$ Это не однородное уравнение, так как есть член $-4\sin x$. Представим $4\sin x = 4\sin x \cdot 1 = 4\sin x (\sin^2 x + \cos^2 x)$. Это тоже усложнит. Проверим еще раз случай, когда $\cos x = 0$, который привел к $\sin x = 1$. Если $\cos x = 0$, то $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$. Тогда $\sin x = \pm 1$. Если $\sin x = 1$, то $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$. Подставляем в уравнение: $4(1) + 0^2 - 0 - 4 = 0 \Rightarrow 4 - 4 = 0$, что верно. Значит $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ являются решениями. Если $\sin x = -1$, то $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$. Подставляем в уравнение: $4(-1) + 0^2 - 0 - 4 = 0 \Rightarrow -4 - 4 = -8 \neq 0$. Так что $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$ не являются решениями. Теперь рассмотрим случай, когда $\cos x \neq 0$. Мы можем разделить на $\cos^2 x$. Уравнение: $4\sin x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x - 4 = 0$ Разделим на $\cos^2 x$: $$\frac{4\sin x}{\cos^2 x} + 1 - \frac{2\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{4}{\cos^2 x} = 0$$ $$\frac{4\sin x}{\cos x} \cdot \frac{1}{\cos x} + 1 - 2\frac{\sin x}{\cos x} - 4 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = 0$$ $$4\tan x \sec x + 1 - 2\tan x - 4\sec^2 x = 0$$ Здесь остался $\sec x$ и $\sec^2 x$. Заменим $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$: $$4\tan x \sec x + 1 - 2\tan x - 4(1 + \tan^2 x) = 0$$ $$4\tan x \sec x + 1 - 2\tan x - 4 - 4\tan^2 x = 0$$ $$4\tan x \sec x - 4\tan^2 x - 2\tan x - 3 = 0$$ Это уравнение все еще содержит $\sec x = \frac{1}{\cos x}$. Давай попробуем сгруппировать по-другому. $4\sin x + \cos^2 x - \sin 2x - 4 = 0$ $4\sin x - 4 + \cos^2 x - \sin 2x = 0$ $4(\sin x - 1) + \cos^2 x - 2\sin x \cos x = 0$ $4(\sin x - 1) + \cos x (\cos x - 2\sin x) = 0$ Если $\sin x = 1$, то $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$. Тогда $\cos x = 0$. Подставим в последнее уравнение: $4(1 - 1) + 0(0 - 2(1)(0)) = 0$ $0 + 0 = 0$. Это подтверждает, что $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ являются решениями. Предположим $\sin x \neq 1$ и $\cos x \neq 0$. Тогда $\sin x - 1 \neq 0$. Возможно, я пропустил более простое преобразование. $4\sin x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x - 4 = 0$ Можно попробовать выразить все через $\sin x$ и $\cos x$ и работать с ними. Попробуем использовать универсальную тригонометрическую подстановку $t = \tan(\frac{x}{2})$. $\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$, $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$. $4\left(\frac{2t}{1+t^2}\right) + \left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)^2 - 2\left(\frac{2t}{1+t^2}\right)\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right) - 4 = 0$ $$\frac{8t}{1+t^2} + \frac{(1-t^2)^2}{(1+t^2)^2} - \frac{4t(1-t^2)}{(1+t^2)^2} - 4 = 0$$ Умножим все на $(1+t^2)^2$: $$8t(1+t^2) + (1-t^2)^2 - 4t(1-t^2) - 4(1+t^2)^2 = 0$$ $$8t + 8t^3 + (1 - 2t^2 + t^4) - (4t - 4t^3) - 4(1 + 2t^2 + t^4) = 0$$ $$8t + 8t^3 + 1 - 2t^2 + t^4 - 4t + 4t^3 - 4 - 8t^2 - 4t^4 = 0$$ Сгруппируем по степеням $t$: $(t^4 - 4t^4) + (8t^3 + 4t^3) + (-2t^2 - 8t^2) + (8t - 4t) + (1 - 4) = 0$ $$-3t^4 + 12t^3 - 10t^2 + 4t - 3 = 0$$ Умножим на $-1$: $$3t^4 - 12t^3 + 10t^2 - 4t + 3 = 0$$ Это уравнение четвертой степени. Решить его без численных методов сложно. Вернемся к простому наблюдению: $4\sin x + \cos^2 x - \sin 2x - 4 = 0$ $4\sin x + (1 - \sin^2 x) - 2\sin x \cos x - 4 = 0$ $- \sin^2 x + 4\sin x - 3 - 2\sin x \cos x = 0$ Если мы предположим $\sin x = 1$, то $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, и $\cos x = 0$. Подставляем: $-(1)^2 + 4(1) - 3 - 2(1)(0) = -1 + 4 - 3 - 0 = 0$. Это подтверждает, что $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ является решением. Может быть, это единственный набор решений, и другие решения отсутствуют? Рассмотрим уравнение в виде: $4\sin x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x - 4 = 0$ $4(\sin x - 1) + \cos^2 x - 2\sin x \cos x = 0$ $4(\sin x - 1) + \cos x (\cos x - 2\sin x) = 0$ Мы знаем, что если $\sin x = 1$, то $\cos x = 0$. Тогда $4(1-1) + 0(0-2(1)(0)) = 0$, что верно. Предположим, что есть другие решения, где $\sin x \neq 1$. Если $\cos x = 0$, мы уже рассмотрели этот случай, получили $\sin x = 1$. Если $\cos x \neq 0$, то разделим на $\cos x$. $4\frac{\sin x}{\cos x} + \cos x - 2\sin x - \frac{4}{\cos x} = 0$ $4\tan x + \cos x - 2\sin x - 4\sec x = 0$ Это не выглядит проще. Перегруппируем исходное уравнение: $4\sin x + (1 - \sin^2 x) - \sin 2x - 4 = 0$ $4\sin x - \sin^2 x - 3 - \sin 2x = 0$ Уравнение $3t^4 - 12t^3 + 10t^2 - 4t + 3 = 0$ не имеет простых рациональных корней (по теореме о рациональных корнях, делители 3/3). Если $t=1$, то $3-12+10-4+3 = 0$. Значит $t=1$ — корень. Если $t = \tan(\frac{x}{2}) = 1$, то $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n$. $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$. Это найденное решение. Поскольку $t=1$ является корнем уравнения четвертой степени, это означает, что $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ являются решениями. Давай выполним деление многочлена $3t^4 - 12t^3 + 10t^2 - 4t + 3$ на $(t-1)$. Используем схему Горнера или деление столбиком: $$(3t^4 - 12t^3 + 10t^2 - 4t + 3) : (t-1)$$ $$\begin{array}{r|rrrrr} 1 & 3 & -12 & 10 & -4 & 3 \\ & & 3 & -9 & 1 & -3 \\ \hline & 3 & -9 & 1 & -3 & 0 \end{array}$$ Получаем $3t^3 - 9t^2 + t - 3 = 0$. Попробуем найти корни этого кубического уравнения. Сгруппируем: $3t^2(t-3) + 1(t-3) = 0$ $(3t^2 + 1)(t-3) = 0$ Из этого следует: 1. $t-3 = 0 \Rightarrow t = 3$ 2. $3t^2 + 1 = 0 \Rightarrow 3t^2 = -1 \Rightarrow t^2 = -\frac{1}{3}$. Это уравнение не имеет действительных решений. Значит, у нас есть два действительных значения для $t = \tan(\frac{x}{2})$: 1. $t = 1$ 2. $t = 3$ Рассмотрим каждый случай: Случай 1: $t = \tan(\frac{x}{2}) = 1$ $$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ Случай 2: $t = \tan(\frac{x}{2}) = 3$ $$\frac{x}{2} = \arctan(3) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ $$x = 2\arctan(3) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ **Ответ:** $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ $$x = 2\arctan(3) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$