К четырёхзначному натуральному числу применяется следующий алгоритм: 1. Вычислить сумму первых двух цифр.

Допущение: под «пятизначные числа» подразумеваются четырёхзначные, так как в условии про четырёхзначное число и в примере приведён четырёхзначный результат. ### Задание 1. Вычислить сумму первых двух цифр. Пусть дано четырёхзначное число $ABCD$, где $A, B, C, D$ — его цифры. Тогда сумма первых двух цифр будет $A + B$. ### Задание 2. Вычислить сумму последних трёх цифр. Сумма последних трёх цифр будет $B + C + D$. ### Задание 3. Записать полученные два числа друг за другом в порядке возрастания (неубывания). Если первое число $X = A + B$ и второе число $Y = B + C + D$, то нужно записать $min(X, Y)$ и $max(X, Y)$ рядом. ### Часть 2. Выясните наименьшее и наибольшее пятизначные числа, в результате применения к которым этого алгоритма получится число 1215. Алгоритм работает так: 1. $X = A + B$ 2. $Y = B + C + D$ 3. Результат: $min(X, Y) ext{ и } max(X, Y)$, записанные друг за другом. То есть, если $min(X, Y) = 12$ и $max(X, Y) = 15$, то получается 1215. Значит, $X$ и $Y$ — это 12 и 15 (в каком-то порядке). Случай 1: $A + B = 12$ и $B + C + D = 15$ Случай 2: $A + B = 15$ и $B + C + D = 12$ Также учтем, что $A \in [1, 9]$ и $B, C, D \in [0, 9]$. **Случай 1: $A + B = 12$ и $B + C + D = 15$** Из $A + B = 12$, так как $A \ge 1$, то $B$ может быть от 3 до 9. * Если $B = 3$: $A = 9$. Тогда $3 + C + D = 15$, откуда $C + D = 12$. Пары $(C, D)$ для суммы 12: (3,9), (4,8), (5,7), (6,6), (7,5), (8,4), (9,3). Числа: 9339, 9348, 9357, 9366, 9375, 9384, 9393. * Если $B = 4$: $A = 8$. Тогда $4 + C + D = 15$, откуда $C + D = 11$. Пары $(C, D)$ для суммы 11: (2,9), (3,8), (4,7), (5,6), (6,5), (7,4), (8,3), (9,2). Числа: 8429, 8438, 8447, 8456, 8465, 8474, 8483, 8492. * Если $B = 5$: $A = 7$. Тогда $5 + C + D = 15$, откуда $C + D = 10$. Пары $(C, D)$ для суммы 10: (1,9), (2,8), (3,7), (4,6), (5,5), (6,4), (7,3), (8,2), (9,1). Числа: 7519, 7528, 7537, 7546, 7555, 7564, 7573, 7582, 7591. * Если $B = 6$: $A = 6$. Тогда $6 + C + D = 15$, откуда $C + D = 9$. Пары $(C, D)$ для суммы 9: (0,9), (1,8), (2,7), (3,6), (4,5), (5,4), (6,3), (7,2), (8,1), (9,0). Числа: 6609, 6618, 6627, 6636, 6645, 6654, 6663, 6672, 6681, 6690. * Если $B = 7$: $A = 5$. Тогда $7 + C + D = 15$, откуда $C + D = 8$. Пары $(C, D)$ для суммы 8: (0,8), (1,7), (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2), (7,1), (8,0). Числа: 5708, 5717, 5726, 5735, 5744, 5753, 5762, 5771, 5780. * Если $B = 8$: $A = 4$. Тогда $8 + C + D = 15$, откуда $C + D = 7$. Пары $(C, D)$ для суммы 7: (0,7), (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1), (7,0). Числа: 4807, 4816, 4825, 4834, 4843, 4852, 4861, 4870. * Если $B = 9$: $A = 3$. Тогда $9 + C + D = 15$, откуда $C + D = 6$. Пары $(C, D)$ для суммы 6: (0,6), (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1), (6,0). Числа: 3906, 3915, 3924, 3933, 3942, 3951, 3960. Наименьшее число из этого случая: **3906**. Наибольшее число из этого случая: **9393**. **Случай 2: $A + B = 15$ и $B + C + D = 12$** Из $A + B = 15$, так как $A \ge 1$, то $B$ может быть от 6 до 9. * Если $B = 6$: $A = 9$. Тогда $6 + C + D = 12$, откуда $C + D = 6$. Пары $(C, D)$ для суммы 6: (0,6), (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1), (6,0). Числа: 9606, 9615, 9624, 9633, 9642, 9651, 9660. * Если $B = 7$: $A = 8$. Тогда $7 + C + D = 12$, откуда $C + D = 5$. Пары $(C, D)$ для суммы 5: (0,5), (1,4), (2,3), (3,2), (4,1), (5,0). Числа: 8705, 8714, 8723, 8732, 8741, 8750. * Если $B = 8$: $A = 7$. Тогда $8 + C + D = 12$, откуда $C + D = 4$. Пары $(C, D)$ для суммы 4: (0,4), (1,3), (2,2), (3,1), (4,0). Числа: 7804, 7813, 7822, 7831, 7840. * Если $B = 9$: $A = 6$. Тогда $9 + C + D = 12$, откуда $C + D = 3$. Пары $(C, D)$ для суммы 3: (0,3), (1,2), (2,1), (3,0). Числа: 6903, 6912, 6921, 6930. Наименьшее число из этого случая: **6903**. Наибольшее число из этого случая: **9660**. Сравниваем все найденные наименьшие и наибольшие числа: Наименьшее из всех: 3906. Наибольшее из всех: 9660. **Ответ: Наименьшее число: 3906, наибольшее число: 9660.** ### Часть 3. Выясните, какие из приведённых ниже чисел могут получиться в результате работы этого алгоритма: 2118, 1818, 1215 Надо проверить, могут ли числа 2118, 1818, 1215 быть результатом, то есть быть составленными из двух сумм $X$ и $Y$. * **2118**: Значит, две суммы — 21 и 18 (или 18 и 21). Если $A+B=21$, это невозможно, так как максимальная сумма двух цифр $9+9=18$. Значит, 2118 не может получиться. * **1818**: Значит, две суммы — 18 и 18. $A+B=18$ (возможно, если $A=9, B=9$). $B+C+D=18$. Если $B=9$, то $9+C+D=18$, откуда $C+D=9$. Это возможно (например, $C=0, D=9$ или $C=9, D=0$ и т.д.). Например, для числа 9909: $A+B = 9+9=18$. $B+C+D = 9+0+9=18$. Результат: 1818. Значит, 1818 может получиться. * **1215**: Это число мы уже рассмотрели в предыдущей части. Например, для числа 3906: $A+B=3+9=12$. $B+C+D=9+0+6=15$. Результат: 1215. Значит, 1215 может получиться. **Ответ: В результате работы алгоритма могут получиться числа 1818 и 1215.**