Вычислить значение выражения $\left(\frac{2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{4}}}{\sqrt[12]{2}}\right)^8$

Для начала упростим выражение в скобках. Используем свойства степеней: 1. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. 2. Корень $n$-й степени из числа можно записать как степень: $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$. Применяем это к числителю: $$2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}} = 2^{\frac{4}{12} + \frac{3}{12}} = 2^{\frac{7}{12}}$$ Теперь преобразуем знаменатель: $$\sqrt[12]{2} = 2^{\frac{1}{12}}$$ Теперь разделим числитель на знаменатель. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: $a^m / a^n = a^{m-n}$. $$\frac{2^{\frac{7}{12}}}{2^{\frac{1}{12}}} = 2^{\frac{7}{12} - \frac{1}{12}} = 2^{\frac{6}{12}} = 2^{\frac{1}{2}}$$ Теперь возведем это в степень 8. При возведении степени в степень показатели умножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. $$(2^{\frac{1}{2}})^8 = 2^{\frac{1}{2} \cdot 8} = 2^4$$ Осталось вычислить $2^4$: $$2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$$ **Ответ: 16**