Концы хорды AB делят окружность на две дуги, градусные меры которых относятся как 3 : 7. Под какими углами видна эта хорда из точек M и K (рис. 95)?

289. Пусть градусные меры дуг, на которые хорда $AB$ делит окружность, будут $3x$ и $7x$. Так как сумма градусных мер всех дуг окружности равна $360^\circ$, то: $$3x + 7x = 360^\circ$$ $$10x = 360^\circ$$ $$x = \frac{360^\circ}{10}$$ $$x = 36^\circ$$ Тогда градусные меры дуг равны: Первая дуга: $3x = 3 \cdot 36^\circ = 108^\circ$ Вторая дуга: $7x = 7 \cdot 36^\circ = 252^\circ$ На рисунке 95 хорда $AB$ видна из точек $M$ и $K$. Углы $\angle AMB$ и $\angle AKB$ являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же хорду $AB$. Угол $\angle AMB$ опирается на дугу $AKB$. Это большая дуга. Угол $\angle AKB$ опирается на дугу $AMB$. Это меньшая дуга. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Предположим, что меньшая дуга $AB$ имеет градусную меру $108^\circ$, а большая дуга $AB$ имеет градусную меру $252^\circ$. Угол, под которым хорда $AB$ видна из точки $M$ (то есть $\angle AMB$), опирается на дугу $AKB$. Величина этой дуги $252^\circ$. $$\angle AMB = \frac{1}{2} \cdot 252^\circ = 126^\circ$$ Угол, под которым хорда $AB$ видна из точки $K$ (то есть $\angle AKB$), опирается на дугу $AMB$. Величина этой дуги $108^\circ$. $$\angle AKB = \frac{1}{2} \cdot 108^\circ = 54^\circ$$ **Ответ:** Из точек $M$ и $K$ хорда $AB$ видна под углами $126^\circ$ и $54^\circ$. 290. **Доказательство:** Дано, что хорды $AB$ и $CD$ равны (рис. 96). Известно, что равные хорды стягивают равные дуги. Это значит, что градусная мера дуги $AB$ равна градусной мере дуги $CD$. $$ \overset{\LARGE\frown}{AB} = \overset{\LARGE\frown}{CD} $$ Нам нужно доказать, что $\overset{\LARGE\frown}{AMB} = \overset{\LARGE\frown}{CND}$. Дуга $\overset{\LARGE\frown}{AMB}$ состоит из дуги $AM$ и дуги $MB$. Или, что более точно, это дуга, которая начинается в точке A, проходит через M и заканчивается в B. Это *большая* дуга, если хорда $AB$ — это меньшая дуга $AB$. Давай рассмотрим дугу $AMB$ как дугу, которая проходит через точку $M$. Её градусная мера равна $360^\circ - \overset{\LARGE\frown}{AB}$. Аналогично, дуга $CND$ проходит через точку $N$. Её градусная мера равна $360^\circ - \overset{\LARGE\frown}{CD}$. Так как $\overset{\LARGE\frown}{AB} = \overset{\LARGE\frown}{CD}$, то: $$ 360^\circ - \overset{\LARGE\frown}{AB} = 360^\circ - \overset{\LARGE\frown}{CD} $$ Значит, дуги, дополняющие дуги $AB$ и $CD$ до полной окружности, тоже равны. Это и есть дуги $\overset{\LARGE\frown}{AMB}$ и $\overset{\LARGE\frown}{CND}$. Следовательно, $\overset{\LARGE\frown}{AMB} = \overset{\LARGE\frown}{CND}$. Что и требовалось доказать.