В треугольниках ABC и A_1B_1C_1 отрезки CO и C_1O_1 — медианы, BC = B_1C_1, $\angle B = \angle B_1$ и $\angle C = \angle C_1$. Докажите, что: а) $\triangle ACO = \triangle A_1C_1O_1$

130. а) Дано: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, $CO$ и $C_1O_1$ — медианы, $BC = B_1C_1$, $\angle B = \angle B_1$ и $\angle C = \angle C_1$. Доказать: $\triangle ACO = \triangle A_1C_1O_1$. Так как $CO$ и $C_1O_1$ — медианы, то $O$ и $O_1$ — середины сторон $AB$ и $A_1B_1$ соответственно. Из равенства $\angle B = \angle B_1$ и $\angle C = \angle C_1$, а также $BC = B_1C_1$ следует, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ (по стороне и двум прилежащим углам). Из равенства треугольников следует, что $AC = A_1C_1$ и $AB = A_1B_1$. Так как $O$ и $O_1$ — середины $AB$ и $A_1B_1$, то $AO = BO = \frac{1}{2}AB$ и $A_1O_1 = B_1O_1 = \frac{1}{2}A_1B_1$. Поскольку $AB = A_1B_1$, то $AO = A_1O_1$. Рассмотрим $\triangle ACO$ и $\triangle A_1C_1O_1$: $AC = A_1C_1$ (доказано ранее). $AO = A_1O_1$ (доказано ранее). $\angle CAB = \angle C_1A_1B_1$ (из равенства $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$). То есть $\angle CAO = \angle C_1A_1O_1$. Поэтому $\triangle ACO = \triangle A_1C_1O_1$ по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). б) Дано: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, $CO$ и $C_1O_1$ — медианы, $BC = B_1C_1$, $\angle B = \angle B_1$ и $\angle C = \angle C_1$. Доказать: $\triangle BCO = \triangle B_1C_1O_1$. Мы уже знаем, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ (по стороне и двум прилежащим углам). Из этого равенства следует, что $AB = A_1B_1$. Так как $CO$ и $C_1O_1$ — медианы, то $O$ — середина $AB$, и $O_1$ — середина $A_1B_1$. Значит, $BO = \frac{1}{2}AB$ и $B_1O_1 = \frac{1}{2}A_1B_1$. Поскольку $AB = A_1B_1$, то $BO = B_1O_1$. Рассмотрим $\triangle BCO$ и $\triangle B_1C_1O_1$: $BC = B_1C_1$ (дано). $BO = B_1O_1$ (доказано). $\angle CBO = \angle C_1B_1O_1$ (дано, $\angle B = \angle B_1$). Поэтому $\triangle BCO = \triangle B_1C_1O_1$ по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).