Докажите, что $AD = A_1D_1$, если треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны, отрезки $CD$ и $C_1D_1$ образуют со сторонами соответственно $CB$ и $C_1B_1$ равные углы.

1. Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны. 2. $CD$ и $C_1D_1$ — это биссектрисы углов $C$ и $C_1$. 3. Углы $B$ и $B_1$ равны, так как треугольники равны. Поскольку треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны, то все их соответствующие элементы равны. Это значит, что $AC = A_1C_1$, $BC = B_1C_1$, $AB = A_1B_1$, $\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$, $\angle C = \angle C_1$. Так как $CD$ и $C_1D_1$ — биссектрисы соответствующих углов $C$ и $C_1$ в равных треугольниках, то они делят эти углы пополам. То есть $\angle ACD = \angle DCB = \frac{1}{2} \angle C$ и $\angle A_1C_1D_1 = \angle D_1C_1B_1 = \frac{1}{2} \angle C_1$. Так как $\angle C = \angle C_1$, то $\angle DCB = \angle D_1C_1B_1$. Рассмотрим треугольники $BCD$ и $B_1C_1D_1$: * $BC = B_1C_1$ (так как $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$) * $\angle B = \angle B_1$ (так как $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$) * $\angle DCB = \angle D_1C_1B_1$ (доказано выше) По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), $\triangle BCD = \triangle B_1C_1D_1$. Из равенства треугольников $BCD$ и $B_1C_1D_1$ следует, что соответствующие стороны равны, то есть $BD = B_1D_1$. Теперь рассмотрим треугольники $ACD$ и $A_1C_1D_1$: * $AC = A_1C_1$ (так как $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$) * $\angle A = \angle A_1$ (так как $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$) * $\angle ACD = \angle A_1C_1D_1$ (доказано выше) По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), $\triangle ACD = \triangle A_1C_1D_1$. Из равенства треугольников $ACD$ и $A_1C_1D_1$ следует, что соответствующие стороны равны, то есть $AD = A_1D_1$. **Ответ: $AD = A_1D_1$**