Используя рисунок, укажите верные утверждения

1. Используя рисунок, укажите верные утверждения: 1) $BH$ — биссектриса треугольника $ABC$. **Неверно.** Из рисунка видно, что $BH$ — это высота, так как $\angle BHC = 90^\circ$, но нет информации о равенстве углов, которые она делит. 2) $BH$ — высота треугольника $ABC$. **Верно.** На рисунке показано, что $BH \perp AC$, что означает, что $BH$ — высота. 3) $CN$ — медиана треугольника $BCF$. **Неверно.** Медиана делит противоположную сторону пополам. На рисунке нет обозначений, что $BN = NF$. 4) $CN$ — биссектриса треугольника $BCF$. **Верно.** На рисунке углы $\angle BCN$ и $\angle NCF$ обозначены равными ($29^\circ$). Это означает, что $CN$ — биссектриса. 5) $HS$ — биссектриса треугольника $HLM$. **Неверно.** Биссектриса делит угол пополам. Из рисунка видно, что $LS = SM = 3$, но это означает, что $HS$ — медиана, а не биссектриса. 6) $\angle LSH$ и $\angle MSH$ — смежные углы. **Верно.** Эти углы образуют прямую линию $LM$, они смежные и их сумма равна $180^\circ$. 7) $\angle BNC$ и $\angle CNF$ — вертикальные углы. **Неверно.** Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых и лежат друг напротив друга. $\angle BNC$ и $\angle CNF$ — смежные углы, если $BF$ — прямая линия, и в сумме дают $180^\circ$. Если $BC$ и $CF$ — это стороны одного угла, то это части одного угла. На рисунке они смежные. 8) $\angle CBH$ — острый угол. **Верно.** В прямоугольном треугольнике $BHC$ ($ \angle BHC = 90^\circ $), углы $HBC$ и $HCB$ всегда острые. 9) $\angle ABH$ — прямой угол. **Неверно.** Из рисунка видно, что $\angle AHB$ может быть прямым, но $\angle ABH$ — острый, так как он является частью прямоугольного треугольника $ABH$. **Ответ:** Верные утверждения: 2, 4, 6, 8 2. Докажите, что треугольники MPK и MNK равны, если MN=MP, а угол NMK равен углу PMK. Дано: * $MN = MP$ * $\angle NMK = \angle PMK$ * Сторона $MK$ — общая. Треугольники $MNK$ и $MPK$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними): 1. Сторона $MN$ равна стороне $MP$ (по условию). 2. Угол $\angle NMK$ равен углу $\angle PMK$ (по условию). 3. Сторона $MK$ является общей для обоих треугольников. Из этих условий следует, что $\triangle MNK = \triangle MPK$. **Ответ: Треугольники MNK и MPK равны по первому признаку равенства треугольников.** 3. В равнобедренном треугольнике ABE проведена медиана BF к основанию (лежит на прямой DF). Точка C лежит на продолжении стороны AB (см. рисунок). Угол DBC равен 25°. Найти: а) угол ABF б) углы ABE и BFE Дано: * Треугольник $ABE$ — равнобедренный, $AB = BE$. * $BF$ — медиана к основанию $AE$. (Это означает, что $BF$ также является высотой и биссектрисой). * Точка $C$ лежит на продолжении стороны $AB$. * $\angle DBC = 25^\circ$. а) Найдем $\angle ABF$. Поскольку $BF$ — медиана в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, то она является также и высотой, и биссектрисой. Значит, $\angle ABF = \angle EBF$. Кроме того, $BF \perp AE$, то есть $\angle BFA = 90^\circ$. Угол $\angle ABC$ — это развернутый угол на прямой $AC$. Нет, это не так. Точка C лежит на продолжении стороны AB. Значит, $\angle EBA + \angle EBC = 180^\circ$. Угол $\angle ABE$ и $\angle CBE$ - смежные, если $A$, $B$, $C$ лежат на одной прямой. По условию, точка $C$ лежит на продолжении стороны $AB$. Это значит, что точки $A$, $B$, $C$ лежат на одной прямой. Тогда $\angle ABE$ и $\angle EBC$ — смежные углы, и их сумма равна $180^\circ$. $\angle DBE = \angle DBC + \angle CBE = 25^\circ + \angle CBE$. Угол $\angle DBC$ внешний для $\triangle ABE$. Нет. Угол $DBC$ смежный с углом $DBA$. Угол $DBA$ – это $\angle ABE$. Если $C$ лежит на продолжении $AB$, значит $A$, $B$, $C$ лежат на одной прямой. Тогда $\angle CBE$ — это угол, который является смежным с $\angle ABE$. $\angle CBE = 180^\circ - \angle ABE$. По условию $BF$ — медиана к основанию $AE$ в равнобедренном треугольнике $ABE$. Значит $BF$ также является высотой и биссектрисой. Это значит, что $\angle ABF = \angle EBF$ и $\angle BFA = 90^\circ$. Угол $\angle ABE$ равен $\angle ABC$. Нет, $\angle ABC$ - это прямой угол. Проверим рисунок. Точка $C$ находится на прямой $AB$, которая продолжается за $B$. То есть $A$, $B$, $C$ лежат на одной прямой. Тогда $\angle ABE$ и $\angle EBC$ смежные, значит $\angle EBC = 180^\circ - \angle ABE$. Но нам дан $\angle DBC = 25^\circ$. Здесь нужно быть внимательнее к рисунку. На рисунке видно, что $D$, $B$, $C$ образуют угол. При этом $D$ — это точка на перпендикуляре к $AE$ через $F$, а $C$ — точка на продолжении $AB$. $\angle DBC$ — это внешний угол треугольника $ABE$ при вершине $B$. **Допущение: Так как точка $C$ лежит на продолжении стороны $AB$, а $\angle DBC = 25^\circ$, мы можем считать, что $D$, $B$, $C$ - это точки, которые образуют угол, где $DB$ - одна сторона, а $BC$ - другая сторона. И $\angle DBC$ - это угол между прямой $BD$ и продолжением $AB$.** Если $AB=BE$, то $\triangle ABE$ равнобедренный. $BF$ - медиана к основанию $AE$. Значит $BF \perp AE$ и $BF$ - биссектриса $\angle ABE$. То есть $\angle ABF = \angle EBF$. Также $\angle BFA = 90^\circ$. $\angle ABF$ — острый угол. На рисунке $D$ — это точка на прямой $BF$. Тогда $\angle DBC$ — это внешний угол к $\triangle BFC$. Если $C$ лежит на продолжении $AB$, тогда $A, B, C$ лежат на одной прямой. А $D$ - это точка на $BF$. Тогда $\angle DBC$ - это угол между $DB$ и $BC$. Так как $BF$ - биссектриса угла $ABE$, то $\angle ABF = \angle EBF$. Мы знаем, что $\angle DBC = 25^\circ$. Поскольку $A, B, C$ на одной прямой, $\angle ABF = \angle DBF$. Если $D$ лежит на $BF$, то $\angle DBC$ не может быть $25^\circ$, так как $\angle CBF$ — это часть угла $\angle CBE$. Угол $\angle ABF$ — это угол внутри треугольника. Вернемся к определению точки $C$ на продолжении $AB$. Это означает, что $A-B-C$ или $C-A-B$. По рисунку это $A-B-C$. Тогда $\angle EBC$ — это смежный угол к $\angle ABE$. Мы видим, что $D$ находится на линии, которая проходит через $B$. Линия $BD$ является продолжением медианы $BF$. То есть $D, B, F$ лежат на одной прямой. Значит $\angle DBC$ — это угол между продолжением $AB$ ($BC$) и линией $DB$. Следовательно, $\angle CBF = 180^\circ - \angle ABE$ (если $F$ находится на $AE$). Если $BF$ — медиана и высота, то $\angle BFA = 90^\circ$. Тогда в $\triangle ABF$, $\angle BAF + \angle ABF = 90^\circ$. Если $AB=BE$, то $\angle BAE = \angle BEA$. Так как $BF$ — биссектриса $\angle ABE$, то $\angle ABF = \frac{1}{2} \angle ABE$. По условию $\angle DBC = 25^\circ$. И $D$ лежит на продолжении $BF$. Значит $\angle CBF = \angle DBC = 25^\circ$. Но это если $D$ и $F$ - разные точки, и $D, B, F$ лежат на одной прямой. По рисунку, $D$ — это точка на продолжении $BF$ (т.е. $F, B, D$ лежат на одной прямой). Значит, $\angle CBF = \angle CBD = 25^\circ$. (Они вертикальные углы, если прямые $AE$ и $CD$ пересекаются в $B$. Но это не так). По рисунку, точка $C$ лежит на продолжении стороны $AB$. Это значит, что $A, B, C$ лежат на одной прямой. А точка $D$ лежит на продолжении медианы $BF$. Это значит, что $F, B, D$ лежат на одной прямой. Тогда $\angle ABE$ и $\angle DBC$ — вертикальные углы. Значит $\angle ABE = \angle DBC = 25^\circ$. а) Найдем $\angle ABF$. Поскольку $BF$ — биссектриса $\angle ABE$, то $\angle ABF = \frac{1}{2} \angle ABE$. $\angle ABF = \frac{1}{2} \cdot 25^\circ = 12.5^\circ$. б) Найдем углы $ABE$ и $BFE$. $\angle ABE = 25^\circ$ (как вертикальный угол к $\angle DBC$). Так как $BF$ — медиана и высота в равнобедренном $\triangle ABE$, то $\angle BFE = 90^\circ$. **Ответ:** **а) $\angle ABF = 12.5^\circ$** **б) $\angle ABE = 25^\circ$, $\angle BFE = 90^\circ$** 4. На основании NK равнобедренного треугольника NBK отложены равные отрезки NA и KC. Докажите, что углы NBA и KBC равны. Дано: * Треугольник $NBK$ — равнобедренный, значит $BN = BK$. * Основание $NK$. * На основании $NK$ отложены равные отрезки $NA$ и $KC$, то есть $NA = KC$. Докажем, что $\angle NBA = \angle KBC$. В равнобедренном $\triangle NBK$ углы при основании равны: $\angle BNK = \angle BKN$. Рассмотрим $\triangle NBA$ и $\triangle KBC$. Чтобы доказать равенство углов $\angle NBA$ и $\angle KBC$, можно доказать равенство треугольников $NBA$ и $KBC$. У нас есть: 1. $BN = BK$ (по условию, как боковые стороны равнобедренного треугольника). 2. $NA = KC$ (по условию). Нам нужно найти еще один элемент (сторону или угол) для применения признаков равенства треугольников. Мы знаем, что $\angle BNA$ и $\angle BKC$ - это углы, которые не являются углами между сторонами $BN, NA$ и $BK, KC$. Рассмотрим $\triangle NBA$ и $\triangle KBC$. $BN = BK$ (боковые стороны равнобедренного треугольника $NBK$). $NA = KC$ (по условию). Углы при основании равнобедренного треугольника $NBK$ равны: $\angle BNK = \angle BKN$. (Это углы $\angle BNA$ и $\angle BKC$). То есть $\angle BNA = \angle BKC$. (Поскольку точки $A$ и $C$ лежат на основании $NK$, то $\angle BNA$ — это тот же угол $\angle BNK$, а $\angle BKC$ — это тот же угол $\angle BKN$). Значит, $\triangle NBA = \triangle KBC$ по двум сторонам ($BN=BK$, $NA=KC$) и углу между ними ($ \angle BNK = \angle BKN $). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle NBA = \angle KBC$. **Ответ: Треугольники NBA и KBC равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), из чего следует равенство углов NBA и KBC.**