Докажите, что хорды $AB$ и $AC$ равны.

Дано: * Окружность с центром $O$. * Точки $A$ и $B$ на окружности, так что $\angle AOB = 90^\circ$ (прямой угол). * Отрезок $BC$ — диаметр окружности. Нужно доказать, что хорды $AB$ и $AC$ равны. **Доказательство:** 1. Так как $BC$ — диаметр окружности, то $\angle BAC$ является вписанным углом, опирающимся на диаметр. Следовательно, $\angle BAC = 90^\circ$. 2. В треугольнике $ABC$ сторона $BC$ является гипотенузой, так как $\angle BAC = 90^\circ$. 3. Рассмотрим центральный угол $\angle AOB = 90^\circ$. Хорда $AB$ стягивает дугу $AB$. 4. Угол $\angle AOC$ и $\angle AOB$ являются смежными углами при точке $O$ на прямой $BC$. Нет, это не так. $A, O, B$ не лежат на одной прямой. 5. Рассмотрим $\triangle AOB$. Поскольку $OA$ и $OB$ — радиусы окружности, то $OA = OB$. Значит, $\triangle AOB$ — равнобедренный. Так как $\angle AOB = 90^\circ$, то $\triangle AOB$ — прямоугольный равнобедренный треугольник. 6. Теперь рассмотрим $\triangle AOC$. Поскольку $OA$ и $OC$ — радиусы окружности, то $OA = OC$. Значит, $\triangle AOC$ — равнобедренный. 7. Углы $\angle AOB$ и $\angle AOC$ дополняют друг друга до $180^\circ$ на диаметре $BC$. Точнее, точки $A, B, C$ лежат на окружности, а $B, O, C$ лежат на одной прямой (диаметр). Значит, $\angle AOC$ и $\angle AOB$ - это смежные углы, если точки $A$ лежат по разные стороны от прямой $BC$. Однако, если $BC$ - диаметр, то точки $B, O, C$ лежат на одной прямой. $\angle AOB$ и $\angle AOC$ не являются смежными углами в том смысле, что их сумма равна $180^\circ$. Правильнее будет сказать, что угол $\angle COA$ является центральным углом, опирающимся на дугу $AC$. Давай посмотрим на углы внимательнее. Точки $B, O, C$ лежат на прямой, потому что $BC$ — диаметр. Угол $\angle AOB = 90^\circ$. Тогда угол $\angle AOC$ будет $180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Итак, у нас есть: * $\triangle AOB$ с $OA = OB$ (радиусы) и $\angle AOB = 90^\circ$. * $\triangle AOC$ с $OA = OC$ (радиусы) и $\angle AOC = 90^\circ$. Значит, $\triangle AOB$ и $\triangle AOC$ — два прямоугольных равнобедренных треугольника. Они равны по двум сторонам ($OA=OB=OC$) и углу между ними ($\angle AOB = \angle AOC = 90^\circ$). Из равенства треугольников $\triangle AOB$ и $\triangle AOC$ следует равенство соответствующих сторон: $AB = AC$. **Что и требовалось доказать.**