Докажите равенство треугольников, изображенных на рисунке.

1. Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle NOK$. - Угол $\angle AOB = \angle NOK$ (как вертикальные). - Сторона $AO = ON$ (дано на рисунке, обозначено одной чёрточкой). - Сторона $BO = OK$ (дано на рисунке, обозначено двумя чёрточками). По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) $\triangle AOB = \triangle NOK$. 2. Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CDB$. - Сторона $AD = BC$ (дано на рисунке, обозначено одной чёрточкой). - Сторона $AB = DC$ (дано на рисунке, обозначено двумя чёрточками). - Сторона $DB$ — общая. По третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам) $\triangle ABD = \triangle CDB$. 3. Рассмотрим треугольники $\triangle ADS$ и $\triangle CBS$. - Угол $\angle ASD = \angle CSB$ (как вертикальные). - Сторона $AS = SB$ (дано на рисунке, обозначено одной чёрточкой). - Сторона $DS = SC$ (дано на рисунке, обозначено двумя чёрточками). По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) $\triangle ADS = \triangle CBS$. №3 А) Докажем, что $\triangle ABD = \triangle CBD$: Точки $A$ и $C$ лежат по одну сторону от прямой $a$. Перпендикуляры $AB$ и $CD$ к прямой $a$ равны, то есть $AB \perp a$ и $CD \perp a$, и $AB = CD$. Значит, $AB \parallel CD$. Рассмотрим четырёхугольник $ABCD$. Так как $AB \parallel CD$ и $AB = CD$, то $ABCD$ — параллелограмм. В параллелограмме диагональ делит его на два равных треугольника. Рассмотрим $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$. - Сторона $AB = CD$ (дано). - Сторона $AD = BC$ (как противоположные стороны параллелограмма). - Сторона $BD$ — общая. По третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам) $\triangle ABD = \triangle CBD$. Б) Найдите $\angle ABC$, если $\angle ADB = 50^\circ$. Так как $\triangle ABD = \triangle CBD$, то соответствующие углы равны. Значит, $\angle CDB = \angle ABD$. Также, поскольку $AB \parallel CD$, то $\angle ABD$ и $\angle CDB$ являются внутренними накрест лежащими углами при секущей $BD$. Таким образом, $\angle ABD = \angle CDB = \angle ADB = 50^\circ$. В параллелограмме $ABCD$ сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Значит, $\angle ABC + \angle BCD = 180^\circ$ или $\angle DAB + \angle ABC = 180^\circ$. Мы знаем, что $\angle ADB = 50^\circ$. Так как $AB \parallel CD$, то $\angle DAB + \angle ADC = 180^\circ$. В $\triangle ABD$ и $\triangle CDB$ углы $\angle ADB$ и $\angle DBC$ являются внутренними накрест лежащими при $AB \parallel CD$ и секущей $BD$. Значит, $\angle DBC = \angle ADB = 50^\circ$. $\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 50^\circ + 50^\circ = 100^\circ$. **Ответ:** №3 Б) $\angle ABC = 100^\circ$