Упростите отношения: a) 24 : 84

1. Упрости отношения: а) $24 : 84 = \frac{24}{84} = \frac{24 \div 12}{84 \div 12} = \frac{2}{7}$ или $2:7$ б) $15 : \frac{9}{20} = 15 \cdot \frac{20}{9} = \frac{15 \cdot 20}{9} = \frac{3 \cdot 5 \cdot 20}{3 \cdot 3} = \frac{5 \cdot 20}{3} = \frac{100}{3}$ или $100:3$ в) $7 \frac{1}{9} : 2 \frac{2}{27} = \frac{64}{9} : \frac{56}{27} = \frac{64}{9} \cdot \frac{27}{56} = \frac{64 \cdot 27}{9 \cdot 56} = \frac{8 \cdot 8 \cdot 3 \cdot 9}{9 \cdot 7 \cdot 8} = \frac{8 \cdot 3}{7} = \frac{24}{7}$ или $24:7$ г) $10,4ab : 1,3a = \frac{10,4ab}{1,3a} = \frac{10,4b}{1,3} = 8b$ или $8b:1$ 2. Вырази отношения в процентах: а) $6 \text{ к } 25 = \frac{6}{25} = \frac{6 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{24}{100} = 24\%$ б) $0,3 \text{ к } 2 \frac{1}{7}$: Сначала переведём $2\frac{1}{7}$ в десятичную дробь: $2 \frac{1}{7} = \frac{15}{7} \approx 2,142857$. Тогда $\frac{0,3}{2,142857} \approx 0,14 \approx 14\%$. Если считать точно, то $\frac{0,3}{2 \frac{1}{7}} = \frac{0,3}{\frac{15}{7}} = 0,3 \cdot \frac{7}{15} = \frac{3}{10} \cdot \frac{7}{15} = \frac{1}{10} \cdot \frac{7}{5} = \frac{7}{50} = \frac{7 \cdot 2}{50 \cdot 2} = \frac{14}{100} = 14\%$ в) $2,4 \text{ кг к } 0,16 \text{ кг} = \frac{2,4}{0,16} = \frac{240}{16} = \frac{15}{1} = 1500\%$ г) $48 \text{ м к } 2 \text{ км}$: Сначала переведём 2 км в метры: $2 \text{ км} = 2 \cdot 1000 \text{ м} = 2000 \text{ м}$. Тогда $48 \text{ м к } 2000 \text{ м} = \frac{48}{2000} = \frac{24}{1000} = 0,024 = 2,4\%$ 3. Реши уравнения: а) $\frac{12}{x} = \frac{4}{27}$ $4x = 12 \cdot 27$ $4x = 324$ $x = \frac{324}{4}$ $x = 81$ **Ответ: $x=81$** б) $5y : 10,8 = 3,5 : 18$ $\frac{5y}{10,8} = \frac{3,5}{18}$ $5y \cdot 18 = 10,8 \cdot 3,5$ $90y = 37,8$ $y = \frac{37,8}{90}$ $y = 0,42$ **Ответ: $y=0,42$** в) $\frac{205}{41} = \frac{23-a}{3}$ $5 = \frac{23-a}{3}$ $5 \cdot 3 = 23-a$ $15 = 23-a$ $a = 23-15$ $a = 8$ **Ответ: $a=8$** г) $1,5 : 0,75 = 3 \frac{1}{7} : b$ $2 = \frac{22}{7} : b$ $2 = \frac{22}{7b}$ $2 \cdot 7b = 22$ $14b = 22$ $b = \frac{22}{14}$ $b = \frac{11}{7}$ **Ответ: $b=\frac{11}{7}$** 4. Определи масштаб карты, если 3 см на карте соответствуют 73,5 км на местности. $3 \text{ см} : 73,5 \text{ км}$ Переведем 73,5 км в сантиметры: $73,5 \text{ км} = 73,5 \cdot 1000 \text{ м} = 73500 \text{ м} = 73500 \cdot 100 \text{ см} = 7350000 \text{ см}$ Масштаб карты будет отношением расстояния на карте к расстоянию на местности: $3 \text{ см} : 7350000 \text{ см}$ Разделим обе части на 3: $1 : 2450000$ **Ответ: Масштаб карты $1:2450000$** 5. Составь уравнение и реши его методом весов. «Задуманное число уменьшили на 0,1 и результат увеличили в 7 раз. В результате получили число, на 8,3 большее задуманного числа. Найди задуманное число». Пусть задуманное число будет $x$. Уменьшили на 0,1: $x - 0,1$ Результат увеличили в 7 раз: $7(x - 0,1)$ Получили число, на 8,3 большее задуманного числа: $x + 8,3$ Составим уравнение: $7(x - 0,1) = x + 8,3$ Решим уравнение: $7x - 0,7 = x + 8,3$ Перенесем $x$ в левую часть, а числа в правую часть: $7x - x = 8,3 + 0,7$ $6x = 9$ $x = \frac{9}{6}$ $x = 1,5$ **Ответ: Задуманное число равно $1,5$** 6. Составь пропорцию и сделай все возможные перестановки. **Допущение: Возьмем простую пропорцию для примера, так как в задании нет конкретных чисел или выражений для составления пропорции.** Пусть дана пропорция: $a : b = c : d$ Это можно записать как: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ Основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов. $ad = bc$ Возможные перестановки (другие пропорции, следующие из этой): 1. Переставим средние члены (b и c): $a : c = b : d$ или $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ 2. Переставим крайние члены (a и d): $d : b = c : a$ или $\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$ 3. Переставим крайние и средние члены (сделаем обратную пропорцию): $b : a = d : c$ или $\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$ 4. Из равенства $ad = bc$ можно получить еще несколько пропорций, если разделить обе части на $bd$, $cd$, $ac$ и т.д. Например, разделим $ad = bc$ на $cd$: $\frac{ad}{cd} = \frac{bc}{cd}$ $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ (это уже было, перестановка средних членов) Разделим $ad = bc$ на $ac$: $\frac{ad}{ac} = \frac{bc}{ac}$ $\frac{d}{c} = \frac{b}{a}$ (это тоже уже было, обратная пропорция) Таким образом, основные перестановки это: а) $a:b = c:d$ б) $a:c = b:d$ в) $d:b = c:a$ г) $b:a = d:c$