Упростите выражения с радикалами.

Давай разберём каждое выражение по очереди. ### 95. Выражение: $$\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{11})^2}{8 + \sqrt{55}}$$ Сначала упростим числитель, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $$(\sqrt{5} + \sqrt{11})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{11} + (\sqrt{11})^2$$ $$= 5 + 2\sqrt{55} + 11 = 16 + 2\sqrt{55}$$ Теперь подставим это в исходное выражение: $$\frac{16 + 2\sqrt{55}}{8 + \sqrt{55}}$$ Заметим, что в числителе можно вынести 2 за скобки: $$\frac{2(8 + \sqrt{55})}{8 + \sqrt{55}}$$ Сократим $(8 + \sqrt{55})$: $$2$$ **Ответ: 2** ### 96. Выражение: $$\frac{(3\sqrt{5} - \sqrt{3})^2}{8 - \sqrt{15}}$$ Упростим числитель, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $$(3\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 = (3\sqrt{5})^2 - 2 \cdot 3\sqrt{5} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2$$ $$= 9 \cdot 5 - 6\sqrt{15} + 3 = 45 - 6\sqrt{15} + 3 = 48 - 6\sqrt{15}$$ Подставим это в исходное выражение: $$\frac{48 - 6\sqrt{15}}{8 - \sqrt{15}}$$ Вынесем 6 за скобки в числителе: $$\frac{6(8 - \sqrt{15})}{8 - \sqrt{15}}$$ Сократим $(8 - \sqrt{15})$: $$6$$ **Ответ: 6** ### 97. Выражение: $$\frac{(\sqrt{3} + \sqrt{13})^2}{8 + \sqrt{39}}$$ Упростим числитель: $$(\sqrt{3} + \sqrt{13})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{13} + (\sqrt{13})^2$$ $$= 3 + 2\sqrt{39} + 13 = 16 + 2\sqrt{39}$$ Подставим в выражение: $$\frac{16 + 2\sqrt{39}}{8 + \sqrt{39}}$$ Вынесем 2 за скобки в числителе: $$\frac{2(8 + \sqrt{39})}{8 + \sqrt{39}}$$ Сократим $(8 + \sqrt{39})$: $$2$$ **Ответ: 2** ### 98. Выражение: $$\frac{(\sqrt{8} + \sqrt{18})^2}{13 + \sqrt{144}}$$ Упростим числитель и знаменатель. Для числителя: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$ и $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$. $$(\sqrt{8} + \sqrt{18})^2 = (2\sqrt{2} + 3\sqrt{2})^2 = (5\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50$$ Для знаменателя: $\sqrt{144} = 12$. $$13 + \sqrt{144} = 13 + 12 = 25$$ Теперь подставим упрощённые значения в выражение: $$\frac{50}{25} = 2$$ **Ответ: 2** ### 99. Выражение: $$\frac{(\sqrt{12} + \sqrt{10})^2}{11 + \sqrt{120}}$$ Упростим числитель: $$(\sqrt{12} + \sqrt{10})^2 = (\sqrt{12})^2 + 2\sqrt{12}\sqrt{10} + (\sqrt{10})^2$$ $$= 12 + 2\sqrt{120} + 10 = 22 + 2\sqrt{120}$$ Подставим это в исходное выражение: $$\frac{22 + 2\sqrt{120}}{11 + \sqrt{120}}$$ Вынесем 2 за скобки в числителе: $$\frac{2(11 + \sqrt{120})}{11 + \sqrt{120}}$$ Сократим $(11 + \sqrt{120})$: $$2$$ **Ответ: 2** ### 100. Выражение: $$\frac{(\sqrt{7} + \sqrt{5})^2}{6 + \sqrt{35}}$$ Упростим числитель: $$(\sqrt{7} + \sqrt{5})^2 = (\sqrt{7})^2 + 2\sqrt{7}\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2$$ $$= 7 + 2\sqrt{35} + 5 = 12 + 2\sqrt{35}$$ Подставим в выражение: $$\frac{12 + 2\sqrt{35}}{6 + \sqrt{35}}$$ Вынесем 2 за скобки в числителе: $$\frac{2(6 + \sqrt{35})}{6 + \sqrt{35}}$$ Сократим $(6 + \sqrt{35})$: $$2$$ **Ответ: 2** ### 101. Выражение: $$\frac{(\sqrt{7} + \sqrt{3})^2}{5 + \sqrt{21}}$$ Упростим числитель: $$(\sqrt{7} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{7})^2 + 2\sqrt{7}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2$$ $$= 7 + 2\sqrt{21} + 3 = 10 + 2\sqrt{21}$$ Подставим в выражение: $$\frac{10 + 2\sqrt{21}}{5 + \sqrt{21}}$$ Вынесем 2 за скобки в числителе: $$\frac{2(5 + \sqrt{21})}{5 + \sqrt{21}}$$ Сократим $(5 + \sqrt{21})$: $$2$$ **Ответ: 2**