Решите неравенство $(x+5)^2(x+3)(x-3) < 0$

Нам нужно решить неравенство $$(x+5)^2(x+3)(x-3) < 0$$ Метод интервалов поможет решить это неравенство. \ Мы найдем нули каждого множителя: \ $$x+5=0 \Rightarrow x=-5$$ $$x+3=0 \Rightarrow x=-3$$ $$x-3=0 \Rightarrow x=3$$ Теперь отметим эти точки на числовой прямой и определим знак выражения на каждом интервале. \\ Точка $x=-5$ является корнем четной кратности, поэтому знак при переходе через неё не меняется. \ Точки $x=-3$ и $x=3$ являются корнями нечетной кратности, при переходе через них знак будет меняться. \\ Раставим знаки на числовой прямой: \ 1. Возьмём любое число больше 3, например $x=4$: $$(4+5)^2(4+3)(4-3) = 9^2 \cdot 7 \cdot 1 = 81 \cdot 7 > 0$$ На интервале $(3; +\infty)$ знак «+». \\ 2. Возьмём число между -3 и 3, например $x=0$: $$(0+5)^2(0+3)(0-3) = 5^2 \cdot 3 \cdot (-3) = 25 \cdot (-9) = -225 < 0$$ На интервале $(-3; 3)$ знак «-». \\ 3. При переходе через $x=-5$ знак не меняется, поэтому на интервале $(-5; -3)$ знак «-». \\ 4. Возьмём число меньше -5, например $x=-6$: $$(-6+5)^2(-6+3)(-6-3) = (-1)^2 \cdot (-3) \cdot (-9) = 1 \cdot 27 = 27 > 0$$ На интервале $(-\infty; -5)$ знак «+». \\ Неравенство $(x+5)^2(x+3)(x-3) < 0$ выполняется, когда произведение отрицательно. Это интервалы, где знак «-». \ **Ответ:** $(-5; 3) \cup (3; 3)$