1. Реши уравнение:
а) $2x^2 + 7x - 9 = 0$
Используем формулу для корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$.
Здесь $a = 2$, $b = 7$, $c = -9$.
Найдем дискриминант $D$:
$$D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121$$
Теперь найдем корни:
$$x_1 = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 11}{4} = \frac{-18}{4} = -4.5$$
$$x_2 = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 11}{4} = \frac{4}{4} = 1$$
**Ответ: $x_1 = -4.5$, $x_2 = 1$**
б) $3x^2 = 18x$
Перенесем все в одну сторону и вынесем общий множитель $3x$ за скобки:
$$3x^2 - 18x = 0$$
$$3x(x - 6) = 0$$
Отсюда следует, что либо $3x = 0$, либо $x - 6 = 0$.
Если $3x = 0$, то $x = 0$.
Если $x - 6 = 0$, то $x = 6$.
**Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = 6$**
в) $100x^2 - 16 = 0$
Перенесем $-16$ в правую часть:
$$100x^2 = 16$$
Разделим обе части на $100$:
$$x^2 = \frac{16}{100}$$
$$x^2 = 0.16$$
Теперь возьмем квадратный корень из обеих частей:
$$x = \pm\sqrt{0.16}$$
$$x_1 = 0.4$$
$$x_2 = -0.4$$
**Ответ: $x_1 = 0.4$, $x_2 = -0.4$**
г) $x^2 - 16x + 63 = 0$
Используем формулу для корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$.
Здесь $a = 1$, $b = -16$, $c = 63$.
Найдем дискриминант $D$:
$$D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 63 = 256 - 252 = 4$$
Теперь найдем корни:
$$x_1 = \frac{-(-16) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{16 - 2}{2} = \frac{14}{2} = 7$$
$$x_2 = \frac{-(-16) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{16 + 2}{2} = \frac{18}{2} = 9$$
**Ответ: $x_1 = 7$, $x_2 = 9$**
2. Периметр прямоугольника равен 20 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 24 см².
Пусть стороны прямоугольника будут $a$ и $b$.
Периметр прямоугольника $P = 2(a+b)$. По условию $P = 20$ см.
$$2(a+b) = 20$$
$$a+b = 10$$ (Уравнение 1)
Площадь прямоугольника $S = a \cdot b$. По условию $S = 24$ см².
$$a \cdot b = 24$$ (Уравнение 2)
Из Уравнения 1 выразим $b$: $b = 10 - a$.
Подставим это выражение в Уравнение 2:
$$a(10 - a) = 24$$
$$10a - a^2 = 24$$
$$a^2 - 10a + 24 = 0$$
Решим это квадратное уравнение. Используем формулу для корней квадратного уравнения $a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$.
Здесь $a = 1$, $b = -10$, $c = 24$.
Найдем дискриминант $D$:
$$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 - 96 = 4$$
Теперь найдем корни:
$$a_1 = \frac{-(-10) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$$
$$a_2 = \frac{-(-10) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 2}{2} = \frac{12}{2} = 6$$
Если $a = 4$, то $b = 10 - 4 = 6$.
Если $a = 6$, то $b = 10 - 6 = 4$.
Оба решения дают одни и те же стороны прямоугольника: 4 см и 6 см.
**Ответ: Стороны прямоугольника равны 4 см и 6 см.**
3. В уравнении $x^2 + px - 18 = 0$ один из его корней равен $-9$. Найдите другой корень и коэффициент $p$.
Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ справедливы формулы Виета:
$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$
$$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$
В нашем уравнении $x^2 + px - 18 = 0$, $a = 1$, $b = p$, $c = -18$.
Один из корней, пусть $x_1$, равен $-9$.
Используем вторую формулу Виета:
$$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$
$$-9 \cdot x_2 = \frac{-18}{1}$$
$$-9x_2 = -18$$
$$x_2 = \frac{-18}{-9}$$
$$x_2 = 2$$
Теперь, когда мы знаем оба корня ($x_1 = -9$ и $x_2 = 2$), используем первую формулу Виета для нахождения $p$:
$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$
$$-9 + 2 = -\frac{p}{1}$$
$$-7 = -p$$
$$p = 7$$
**Ответ: Другой корень равен 2, коэффициент $p$ равен 7.**
