Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^{-5} + 1$ на промежутке $[2; 3]$.

1. Найдем производную функции $y = x^{-5} + 1$: $$y' = -5x^{-6}$$ 2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $$-5x^{-6} = 0$$ Это уравнение не имеет решений, так как $x^{-6}$ никогда не равен нулю. Значит, у функции нет критических точек внутри интервала. 3. Так как производная $y' = -5x^{-6} = -\frac{5}{x^6}$ всегда отрицательна на промежутке $[2; 3]$ (знаменатель $x^6$ всегда положителен, а числитель отрицателен), то функция монотонно убывает на этом промежутке. 4. Для убывающей функции наибольшее значение будет в начале промежутка, а наименьшее — в конце. Найдем значение функции в точке $x = 2$: $$y(2) = 2^{-5} + 1 = \frac{1}{2^5} + 1 = \frac{1}{32} + 1 = 1\frac{1}{32}$$ Найдем значение функции в точке $x = 3$: $$y(3) = 3^{-5} + 1 = \frac{1}{3^5} + 1 = \frac{1}{243} + 1 = 1\frac{1}{243}$$ **Ответ:** Наибольшее значение функции: $1\frac{1}{32}$, наименьшее значение функции: $1\frac{1}{243}$.