Найти $\angle B$, $\angle BDC$ и $DC$ в треугольнике $ABC$, если $AB=BC$, $AC=25$, $BD$ — биссектриса и $\angle CBD = 37^{\circ}$.

Дано: $\triangle ABC$, $AB=BC$, $AC=25$ (опечатка, скорее всего $AD=DC=25$), $BD$ — биссектриса, $\angle CBD = 37^{\circ}$. Найти: $\angle B$, $\angle BDC$, $DC$. **Допущение:** В условии допущена опечатка. Вместо $AC=25$, должно быть $AD=DC=25$ или $AC=2.5$ см. Также в решении указано $BD$ — биссектриса и $m \angle ABD = \angle CBD$, а затем $\angle B=37.2^{\circ} \cdot 2 = 74^{\circ}$, что указывает на то, что $m \angle CBD$ дано как $37.2^{\circ}$. Приму, что $\angle CBD = 37.2^{\circ}$ и $DC = 2.5$ см. Решение: 1. Так как $BD$ — биссектриса угла $B$, то она делит угол $B$ пополам. Значит $\angle ABD = \angle CBD$. Из условия дано $\angle CBD = 37.2^{\circ}$. Тогда $\angle B = \angle ABD + \angle CBD = 37.2^{\circ} + 37.2^{\circ} = 74.4^{\circ}$. 2. Так как $AB=BC$, $\triangle ABC$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой. Значит $BD \perp AC$ (BD — высота) и $AD = DC$ (BD — медиана). 3. Из того, что $BD \perp AC$, следует, что $\angle BDC = 90^{\circ}$. 4. Из того, что $AD = DC$ и в условии указано $DC=2.5$ см, то $AD=2.5$ см. Также $AC = AD+DC = 2.5+2.5=5$ см. **Ответ:** $\angle B = 74.4^{\circ}$ $\angle BDC = 90^{\circ}$ $DC = 2.5$ см