В треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $C$ равен $130^\circ$, Найдите $\angle B$

**Допущение**: В задаче 4 нужно найти угол $\angle B$ при условии, что внешний угол при вершине $C$ равен $130^\circ$. Но для нахождения $\angle B$ нам потребуется хотя бы один из углов $\angle A$ или $\angle C$. Предположим, что $\angle A = 70^\circ$. **Задание 4** Если внешний угол при вершине $C$ равен $130^\circ$, то внутренний угол $\angle C$ будет равен: $$ \angle C = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ $$ Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Значит, $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$. Подставляем известные значения: $$ 70^\circ + \angle B + 50^\circ = 180^\circ $$ $$ \angle B = 180^\circ - 70^\circ - 50^\circ = 60^\circ $$ **Ответ:** $\angle B = 60^\circ$ **Задание 5** Чтобы найти третью сторону треугольника, зная две стороны и угол между ними, воспользуемся теоремой косинусов. Пусть даны стороны $a = 6$ см, $b = 9$ см, и угол между ними $\gamma = 60^\circ$. Тогда третья сторона $c$ находится по формуле: $$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma $$ Подставим значения: $$ c^2 = 6^2 + 9^2 - 2 \cdot 6 \cdot 9 \cdot \cos 60^\circ $$ Мы знаем, что $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$. $$ c^2 = 36 + 81 - 2 \cdot 54 \cdot \frac{1}{2} $$ $$ c^2 = 36 + 81 - 54 $$ $$ c^2 = 117 - 54 $$ $$ c^2 = 63 $$ $$ c = \sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = 3\sqrt{7} \text{ см} $$ **Ответ:** Третья сторона равна $3\sqrt{7}$ см. **Задание 6** Докажем, что если в треугольнике два угла равны, то и противолежащие им стороны равны. Рассмотрим треугольник $ABC$. Пусть углы $\angle A$ и $\angle B$ равны, то есть $\angle A = \angle B$. Нужно доказать, что стороны, лежащие напротив этих углов, равны, то есть $BC = AC$. Проведём биссектрису $CD$ из вершины $C$ к стороне $AB$. Биссектриса делит угол $C$ на два равных угла. Рассмотрим два треугольника: $\triangle ADC$ и $\triangle BDC$. 1. Угол $\angle A = \angle B$ (по условию). 2. Угол $\angle ACD = \angle BCD$ (по построению, так как $CD$ — биссектриса). 3. Сторона $CD$ — общая для обоих треугольников. По признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам — угол-сторона-угол, но здесь корректнее использовать признак ААS, если мы используем $CD$ как сторону). Вернее, давайте так: если $\angle A = \angle B$, и мы знаем, что сумма углов в треугольнике $180^\circ$, то $\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - 2\angle A$. Используем теорему синусов: $$ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C} $$ Поскольку $\angle A = \angle B$, то $\sin A = \sin B$. Из равенства $\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$ следует: $$ BC \cdot \sin B = AC \cdot \sin A $$ Так как $\sin A = \sin B$ (и $\sin A \ne 0$, потому что углы треугольника не могут быть равны $0^\circ$ или $180^\circ$), то мы можем разделить обе части уравнения на $\sin A$: $$ BC = AC $$ Таким образом, если в треугольнике два угла равны, то и противолежащие им стороны равны. Этот треугольник называется равнобедренным. **Что и требовалось доказать.**