1. Умножить

1. Умножить a) $$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}$$ **Ответ: $\frac{1}{6}$** б) $$1\frac{1}{9} \cdot 3 = \frac{1 \cdot 9 + 1}{9} \cdot 3 = \frac{10}{9} \cdot 3 = \frac{10 \cdot 3}{9} = \frac{30}{9} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$$ **Ответ: $3\frac{1}{3}$** в) $$1\frac{2}{9} \cdot 2\frac{2}{5} = \frac{1 \cdot 9 + 2}{9} \cdot \frac{2 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{11}{9} \cdot \frac{12}{5} = \frac{11 \cdot 12}{9 \cdot 5} = \frac{132}{45} = \frac{44}{15} = 2\frac{14}{15}$$ **Ответ: $2\frac{14}{15}$** г) $$3\frac{2}{7} \cdot 1\frac{1}{3} + 3\frac{2}{7} \cdot 1\frac{2}{3} = 3\frac{2}{7} \cdot \left(1\frac{1}{3} + 1\frac{2}{3}\right) = 3\frac{2}{7} \cdot \left(\frac{4}{3} + \frac{5}{3}\right) = 3\frac{2}{7} \cdot \frac{9}{3} = 3\frac{2}{7} \cdot 3 = \frac{3 \cdot 7 + 2}{7} \cdot 3 = \frac{23}{7} \cdot 3 = \frac{23 \cdot 3}{7} = \frac{69}{7} = 9\frac{6}{7}$$ **Ответ: $9\frac{6}{7}$** 2. Разделить a) $$\frac{9}{16} \div 36 = \frac{9}{16} \cdot \frac{1}{36} = \frac{9}{16 \cdot 36} = \frac{1}{16 \cdot 4} = \frac{1}{64}$$ **Ответ: $\frac{1}{64}$** б) $$9 \div \frac{27}{28} = 9 \cdot \frac{28}{27} = \frac{9 \cdot 28}{27} = \frac{1 \cdot 28}{3} = \frac{28}{3} = 9\frac{1}{3}$$ **Ответ: $9\frac{1}{3}$** в) $$\frac{27}{24} \div \frac{7}{12} \div \frac{7}{9} = \frac{27}{24} \cdot \frac{12}{7} \cdot \frac{9}{7} = \frac{27 \cdot 12 \cdot 9}{24 \cdot 7 \cdot 7} = \frac{27 \cdot 1 \cdot 9}{2 \cdot 7 \cdot 7} = \frac{243}{98} = 2\frac{47}{98}$$ **Ответ: $2\frac{47}{98}$** г) $$7\frac{5}{7} \div 3\frac{3}{5} = \frac{7 \cdot 7 + 5}{7} \div \frac{3 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{54}{7} \div \frac{18}{5} = \frac{54}{7} \cdot \frac{5}{18} = \frac{54 \cdot 5}{7 \cdot 18} = \frac{3 \cdot 5}{7} = \frac{15}{7} = 2\frac{1}{7}$$ **Ответ: $2\frac{1}{7}$** 3. Выполнить действие $$\left(1\frac{1}{2} \cdot 2\frac{2}{3} + 2\frac{1}{4} \cdot 1\frac{1}{3}\right) \div \frac{5}{6}$$ Сначала выполним умножение в скобках: 1) $$1\frac{1}{2} \cdot 2\frac{2}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{8}{3} = \frac{3 \cdot 8}{2 \cdot 3} = \frac{24}{6} = 4$$ 2) $$2\frac{1}{4} \cdot 1\frac{1}{3} = \frac{9}{4} \cdot \frac{4}{3} = \frac{9 \cdot 4}{4 \cdot 3} = \frac{36}{12} = 3$$ Теперь сложим результаты: 3) $$4 + 3 = 7$$ И, наконец, разделим на $\frac{5}{6}$: 4) $$7 \div \frac{5}{6} = 7 \cdot \frac{6}{5} = \frac{42}{5} = 8\frac{2}{5}$$ **Ответ: $8\frac{2}{5}$** 4. Найдите значение выражения при заданных значениях переменных $$\frac{2}{5}a + \frac{1}{3}b = \text{ при } a = \frac{3}{4}, b = \frac{2}{5}$$ Подставим значения $a$ и $b$ в выражение: $$\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} + \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 5} = \frac{6}{20} + \frac{2}{15}$$ Упростим дроби: $$\frac{3}{10} + \frac{2}{15}$$ Найдем общий знаменатель для 10 и 15. Это 30. $$\frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{9}{30} + \frac{4}{30} = \frac{9 + 4}{30} = \frac{13}{30}$$ **Ответ: $\frac{13}{30}$** 5. Решить задачу Мастер купил рулон плёнки шириной $\frac{5}{6}$ м и длиной $9\frac{3}{5}$ м. Найдите площадь всего рулона плёнки. Хватит ли этой плёнки, чтобы покрыть четыре одинаковые полки длиной $1\frac{1}{5}$ м и шириной $1\frac{3}{4}$ м каждая? 1. Найдем площадь рулона пленки: Ширина рулона: $$\frac{5}{6} \text{ м}$$ Длина рулона: $$9\frac{3}{5} = \frac{9 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{48}{5} \text{ м}$$ Площадь рулона ($S_{\text{рулона}}$) = ширина $\times$ длина $$S_{\text{рулона}} = \frac{5}{6} \cdot \frac{48}{5} = \frac{5 \cdot 48}{6 \cdot 5} = \frac{48}{6} = 8 \text{ м}^2$$ 2. Найдем площадь одной полки: Длина полки: $$1\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{6}{5} \text{ м}$$ Ширина полки: $$1\frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4} \text{ м}$$ Площадь одной полки ($S_{\text{полки}}$) = длина $\times$ ширина $$S_{\text{полки}} = \frac{6}{5} \cdot \frac{7}{4} = \frac{6 \cdot 7}{5 \cdot 4} = \frac{42}{20} = \frac{21}{10} = 2.1 \text{ м}^2$$ 3. Найдем общую площадь, которую нужно покрыть для четырех полок: Общая площадь полок ($S_{\text{общая}}$) = площадь одной полки $\times$ 4 $$S_{\text{общая}} = 2.1 \cdot 4 = 8.4 \text{ м}^2$$ 4. Сравним площадь рулона с общей площадью полок: Площадь рулона $8 \text{ м}^2$. Общая площадь полок $8.4 \text{ м}^2$. Так как $8 \text{ м}^2 < 8.4 \text{ м}^2$, плёнки не хватит. **Ответ: Площадь рулона $8 \text{ м}^2$. Плёнки не хватит, чтобы покрыть четыре полки.**