Один из углов параллелограмма равен 45°. Найдите его другие углы.

1. Один из углов параллелограмма равен $45^\circ$. Найди другие углы. У параллелограмма сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Противоположные углы равны. Один угол $45^\circ$. Второй угол: $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$. Значит, углы будут $45^\circ, 135^\circ, 45^\circ, 135^\circ$. **Ответ: а) $45^\circ, 135^\circ, 135^\circ$;** 2. Основание равнобедренного треугольника равно 18 см. Чему равна средняя линия, параллельная этой основе? Средняя линия треугольника, параллельная основанию, равна половине этого основания. Средняя линия $= \frac{1}{2} \cdot 18 \text{ см} = 9 \text{ см}$. **Ответ: В) 9 см** 3. Острый угол ромба равен $60^\circ$. Найди углы между диагоналями ромба и его сторонами. В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом ($90^\circ$) и являются биссектрисами его углов. Если острый угол ромба $60^\circ$, то тупой угол $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Диагонали делят углы ромба пополам: - Угол между диагональю и стороной, прилежащей к острому углу: $60^\circ / 2 = 30^\circ$. - Угол между диагональю и стороной, прилежащей к тупому углу: $120^\circ / 2 = 60^\circ$. Углы между диагоналями ромба всегда $90^\circ$. Углы, о которых спрашивается, это углы, которые образуют диагонали со сторонами ромба. **Ответ: в) $30^\circ, 60^\circ$** 4. Три последовательные стороны описанного четырехугольника равны 2 см, 3 см, 4 см. Найди четвертую сторону. В описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны. Пусть стороны $a, b, c, d$. Тогда $a+c = b+d$. Даны $a=2\text{ см}$, $b=3\text{ см}$, $c=4\text{ см}$. Найдем $d$. $2 + 4 = 3 + d$ $6 = 3 + d$ $d = 6 - 3$ $d = 3\text{ см}$. **Ответ: Б) 3 см** 5. Разность сторон параллелограмма равна 2 см, а его периметр — 20 см. Найди стороны параллелограмма. Пусть стороны параллелограмма $a$ и $b$. Противоположные стороны равны. Периметр $P = 2(a+b) = 20\text{ см}$. $a+b = 10\text{ см}$. Разность сторон: $a - b = 2\text{ см}$. Получаем систему уравнений: $$\begin{cases} a+b=10 \\ a-b=2 \end{cases}$$ Сложим уравнения: $(a+b) + (a-b) = 10 + 2$ $2a = 12$ $a = 6\text{ см}$. Подставим $a$ в первое уравнение: $6 + b = 10$ $b = 10 - 6$ $b = 4\text{ см}$. Стороны параллелограмма 6 см и 4 см. **Ответ: б) 6 см, 4 см;** 6. Основания трапеции равны 5 см и 7 см. Чему равна длина средней линии? Средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований. Средняя линия $= \frac{5\text{ см} + 7\text{ см}}{2} = \frac{12\text{ см}}{2} = 6\text{ см}$. **Ответ: А) 6 см** 7. Точка $M$ — середина стороны $BC$ прямоугольника $ABCD$. Отрезки $MA$ и $MD$ взаимно перпендикулярны. Найди стороны прямоугольника $ABCD$, если его периметр равен 54 дм. Допущение: Так как отрезки $MA$ и $MD$ взаимно перпендикулярны и $M$ — середина $BC$, то треугольник $AMD$ является равнобедренным прямоугольным треугольником, а это возможно, если $AD = 2AB$. Пусть $AB = x$ дм, тогда $AD = 2x$ дм. Периметр прямоугольника $P = 2(AB+AD)$. $54 = 2(x + 2x)$ $54 = 2(3x)$ $54 = 6x$ $x = 54 / 6$ $x = 9$ дм. Значит, $AB = 9$ дм, а $AD = 2 \cdot 9 = 18$ дм. **Ответ: 9 дм и 18 дм**