Найдите длину отрезка $AH$ в треугольнике $ABC$, если сторона $AC = 9$, $BM$ — медиана, $BH$ — высота и $BC = BM$.

Дано: В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 9$. $BM$ — медиана. $BH$ — высота. $BC = BM$. Найдем длину отрезка $AH$. Так как $BM$ — медиана, то она делит сторону $AC$ пополам. Следовательно: $$AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$$ В треугольнике $BMC$ сторона $BC = BM$, значит, треугольник $BMC$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике высота $BH$ является также медианой, если она проведена к основанию $MC$. Но $BH$ — это высота треугольника $ABC$ к стороне $AC$. В треугольнике $BMC$, $BH$ не обязательно является высотой к основанию $MC$. Здесь $BH$ — это высота к стороне $MC$ в треугольнике $BMC$, но только если $H$ лежит между $M$ и $C$. Раз $BM = BC$, то $\triangle BMC$ — равнобедренный с основанием $MC$. Высота $BH$ в $\triangle BMC$ проведена к основанию $MC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Значит, $H$ — середина отрезка $MC$. $$MH = HC = \frac{MC}{2}$$ Мы знаем, что $MC = 4.5$, значит: $$HC = \frac{4.5}{2} = 2.25$$ Теперь найдем $AH$. Отрезок $AH$ состоит из $AM$ и $MH$: $$AH = AM + MH$$ Подставляем значения: $$AH = 4.5 + 2.25 = 6.75$$ **Ответ:** $AH = 6.75$