Сократить дробь: a) $$ \frac{6^{0,5}}{6^{-0,5}} $$

1. Сократить дробь: a) $$ \frac{6^{0,5}}{6^{-0,5}} = 6^{0,5 - (-0,5)} = 6^{0,5 + 0,5} = 6^1 = 6 $$ б) $$ \frac{a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{2}{3}}+a^{\frac{1}{3}})}{a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{1}{3}}+a^{-\frac{1}{3}})} = \frac{a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{-\frac{1}{3}}} = \frac{a^{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}+\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{3}-\frac{1}{3}}} = \frac{a^1 + a^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} + a^0} = \frac{a + a^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} + 1} $$ **Ответ:** а) 6; б) $$ \frac{a + a^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} + 1} $$ 2. Решить уравнение: $2x^6 = 128$ $$ x^6 = \frac{128}{2} $$ $$ x^6 = 64 $$ $$ x = \pm \sqrt[6]{64} $$ $$ x = \pm 2 $$ **Ответ:** $$ x = \pm 2 $$ 3. Найти диагональ прямоугольного параллелепипеда по трем его измерениям: 2, 3, 6. Формула для диагонали прямоугольного параллелепипеда с измерениями $a, b, c$: $$ d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} $$ Подставляем значения: $$ d = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7 $$ **Ответ:** 7 4. Вычислить: $2^{2-3\sqrt{5}} \cdot 8^{\sqrt{5}}$ Представим 8 как $2^3$: $$ 2^{2-3\sqrt{5}} \cdot (2^3)^{\sqrt{5}} = 2^{2-3\sqrt{5}} \cdot 2^{3\sqrt{5}} $$ При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $$ 2^{2-3\sqrt{5} + 3\sqrt{5}} = 2^2 = 4 $$ **Ответ:** 4 5. Дана шестиугольная призма. Определить взаимное расположение прямых (скрещиваются, пересекаются, параллельны, перпендикулярны): А) DC и A 1) скрещивающиеся 2) пересекающиеся 3) параллельные 4) перпендикулярные Рассмотрим изображение призмы: А) DC и A $A_1F_1$ (опечатка в условии, предполагаю, что имеется в виду $A_1F_1$ или $AF_1$). Если $A_1F_1$, то прямые DC и $A_1F_1$ лежат в разных плоскостях и не пересекаются, значит, они скрещиваются. **Ответ: 1) скрещивающиеся** Б) BC и E $E_1D_1$ (опечатка в условии, предполагаю, что имеется в виду $E_1D_1$). Прямые BC и $E_1D_1$ являются основаниями призмы, они параллельны. **Ответ: 3) параллельные** В) AB и C $C_1$ (опечатка в условии, предполагаю, что имеется в виду $CC_1$). Прямые AB и $CC_1$ скрещиваются, так как лежат в разных плоскостях и не параллельны, не пересекаются. **Ответ: 1) скрещивающиеся** Г) AF и ED. Прямые AF и ED лежат в одной плоскости нижнего основания и не имеют общих точек, значит, они параллельны. **Ответ: 3) параллельные** 6. Вычислить: $6\cos^2\frac{\pi}{6} + 3\text{tg}\frac{\pi}{4}$ Значения тригонометрических функций: $$ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$ $$ \text{tg}\frac{\pi}{4} = 1 $$ Подставляем значения: $$ 6 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + 3 \cdot 1 = 6 \cdot \frac{3}{4} + 3 = \frac{18}{4} + 3 = \frac{9}{2} + 3 = 4,5 + 3 = 7,5 $$ **Ответ:** 7,5 7. Найдите координаты вектора $AB$, если $A(1; -2; 0)$, $B(3; -1; 2)$. Координаты вектора $AB$ находятся как разность координат точки B и точки A: $$ \vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) $$ $$ \vec{AB} = (3 - 1; -1 - (-2); 2 - 0) = (2; -1 + 2; 2) = (2; 1; 2) $$ **Ответ:** (2; 1; 2) 8. В начале учебного года в школе было 800 учащихся, а к концу их стало 920. На сколько процентов увеличилось за учебный год число учащихся? Найдём, насколько увеличилось число учащихся: $$ 920 - 800 = 120 $$ человек Теперь найдём процент увеличения. Для этого разделим количество увеличившихся учащихся на первоначальное количество и умножим на 100%: $$ \frac{120}{800} \cdot 100\% = \frac{12}{80} \cdot 100\% = \frac{3}{20} \cdot 100\% = 0,15 \cdot 100\% = 15\% $$ **Ответ:** 15% 9. Построить графики функции: А) $y=3x+5$; Б) $y=x^2+5$; В) $y=\frac{1}{x+3}$. :::div .chart-container @chart-1::: :::div .chart-container @chart-2::: :::div .chart-container @chart-3::: 10. Решить тригонометрические уравнения: А) $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$; Общее решение для $\cos x = a$ имеет вид $x = \pm \arccos a + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. $$ x = \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n $$ $$ x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** $$ x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Б) $2\sin x - \sqrt{3} = 0$. $$ 2\sin x = \sqrt{3} $$ $$ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} $$ Общее решение для $\sin x = a$ имеет вид $x = (-1)^k \arcsin a + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. $$ x = (-1)^k \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi k $$ $$ x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** $$ x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$