Решите задачи на сравнение чисел, нахождение значений выражений, нахождение произведений и выполнение действий.

1. Сравните числа: a) Чтобы сравнить дроби $\frac{7}{10}$ и $\frac{31}{45}$, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 10 и 45 — это 90. $$\frac{7}{10} = \frac{7 \times 9}{10 \times 9} = \frac{63}{90}$$ $$\frac{31}{45} = \frac{31 \times 2}{45 \times 2} = \frac{62}{90}$$ Сравниваем числители: $63 > 62$, значит $\frac{63}{90} > \frac{62}{90}$. **Ответ: $\frac{7}{10} > \frac{31}{45}$** б) Чтобы сравнить дроби $\frac{6}{16}$ и $\frac{7}{17}$, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 16 и 17 — это $16 \times 17 = 272$. $$\frac{6}{16} = \frac{6 \times 17}{16 \times 17} = \frac{102}{272}$$ $$\frac{7}{17} = \frac{7 \times 16}{17 \times 16} = \frac{112}{272}$$ Сравниваем числители: $102 < 112$, значит $\frac{102}{272} < \frac{112}{272}$. **Ответ: $\frac{6}{16} < \frac{7}{17}$** 2. Найдите значения выражения: а) $7 - 4\frac{5}{9}$ Чтобы вычесть, представим 7 как смешанную дробь: $$7 - 4\frac{5}{9} = 6\frac{9}{9} - 4\frac{5}{9} = (6-4) + (\frac{9}{9} - \frac{5}{9}) = 2 + \frac{4}{9} = 2\frac{4}{9}$$ **Ответ: $2\frac{4}{9}$** б) $4\frac{3}{10} + 1\frac{5}{12}$ Приведем дробные части к общему знаменателю. Общий знаменатель для 10 и 12 — это 60. $$4\frac{3}{10} + 1\frac{5}{12} = 4\frac{3 \times 6}{10 \times 6} + 1\frac{5 \times 5}{12 \times 5} = 4\frac{18}{60} + 1\frac{25}{60}$$ $$= (4+1) + (\frac{18}{60} + \frac{25}{60}) = 5 + \frac{18+25}{60} = 5 + \frac{43}{60} = 5\frac{43}{60}$$ **Ответ: $5\frac{43}{60}$** в) $6\frac{15}{21} + 2\frac{9}{14}$ Сначала сократим дробь $\frac{15}{21}$ на 3: $\frac{15}{21} = \frac{5}{7}$. Теперь выражение выглядит так: $6\frac{5}{7} + 2\frac{9}{14}$. Общий знаменатель для 7 и 14 — это 14. $$6\frac{5}{7} + 2\frac{9}{14} = 6\frac{5 \times 2}{7 \times 2} + 2\frac{9}{14} = 6\frac{10}{14} + 2\frac{9}{14}$$ $$= (6+2) + (\frac{10}{14} + \frac{9}{14}) = 8 + \frac{19}{14} = 8 + 1\frac{5}{14} = 9\frac{5}{14}$$ **Ответ: $9\frac{5}{14}$** г) $5\frac{1}{6} - 3\frac{3}{4}$ Приведем дробные части к общему знаменателю. Общий знаменатель для 6 и 4 — это 12. $$5\frac{1}{6} - 3\frac{3}{4} = 5\frac{1 \times 2}{6 \times 2} - 3\frac{3 \times 3}{4 \times 3} = 5\frac{2}{12} - 3\frac{9}{12}$$ Так как $\frac{2}{12} < \frac{9}{12}$, займем единицу у целой части 5. $$5\frac{2}{12} - 3\frac{9}{12} = 4\frac{12+2}{12} - 3\frac{9}{12} = 4\frac{14}{12} - 3\frac{9}{12}$$ $$= (4-3) + (\frac{14}{12} - \frac{9}{12}) = 1 + \frac{5}{12} = 1\frac{5}{12}$$ **Ответ: $1\frac{5}{12}$** 3. Найдите произведение: а) $\frac{5}{7} \times \frac{7}{6}$ При умножении дробей числители перемножаются и знаменатели перемножаются. Здесь можно сократить 7. $$\frac{5}{7} \times \frac{7}{6} = \frac{5 \times \cancel{7}}{\cancel{7} \times 6} = \frac{5}{6}$$ **Ответ: $\frac{5}{6}$** б) $\frac{11}{28} \times \frac{7}{33}$ Сократим 11 и 33 на 11, а 7 и 28 на 7. $$\frac{\cancel{11}}{28} \times \frac{7}{\cancel{33}} = \frac{1}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1 \times 1}{4 \times 3} = \frac{1}{12}$$ **Ответ: $\frac{1}{12}$** в) $1\frac{8}{25} \times 1\frac{4}{11}$ Сначала переведем смешанные дроби в неправильные: $$1\frac{8}{25} = \frac{1 \times 25 + 8}{25} = \frac{33}{25}$$ $$1\frac{4}{11} = \frac{1 \times 11 + 4}{11} = \frac{15}{11}$$ Теперь умножим: $$\frac{33}{25} \times \frac{15}{11}$$ Сократим 33 и 11 на 11, а 15 и 25 на 5. $$\frac{\cancel{33}^{3}}{\cancel{25}^{5}} \times \frac{\cancel{15}^{3}}{\cancel{11}^{1}} = \frac{3}{5} \times \frac{3}{1} = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5}$$ **Ответ: $1\frac{4}{5}$** г) $3\frac{5}{7} \times 1\frac{1}{13}$ Сначала переведем смешанные дроби в неправильные: $$3\frac{5}{7} = \frac{3 \times 7 + 5}{7} = \frac{21+5}{7} = \frac{26}{7}$$ $$1\frac{1}{13} = \frac{1 \times 13 + 1}{13} = \frac{14}{13}$$ Теперь умножим: $$\frac{26}{7} \times \frac{14}{13}$$ Сократим 26 и 13 на 13, а 14 и 7 на 7. $$\frac{\cancel{26}^{2}}{\cancel{7}^{1}} \times \frac{\cancel{14}^{2}}{\cancel{13}^{1}} = \frac{2}{1} \times \frac{2}{1} = 4$$ **Ответ: 4** д) $2\frac{2}{3} \times 6$ Сначала переведем смешанную дробь в неправильную: $$2\frac{2}{3} = \frac{2 \times 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$$ Теперь умножим: $$\frac{8}{3} \times 6 = \frac{8 \times 6}{3}$$ Сократим 6 и 3 на 3. $$\frac{8 \times \cancel{6}^{2}}{\cancel{3}^{1}} = 8 \times 2 = 16$$ **Ответ: 16** 4. Выполните действия: а) $1\frac{5}{19} \times (6 - 3\frac{5}{8})$ Сначала выполним вычитание в скобках: $$6 - 3\frac{5}{8} = 5\frac{8}{8} - 3\frac{5}{8} = (5-3) + (\frac{8}{8} - \frac{5}{8}) = 2 + \frac{3}{8} = 2\frac{3}{8}$$ Теперь переведем смешанные дроби в неправильные: $$1\frac{5}{19} = \frac{1 \times 19 + 5}{19} = \frac{24}{19}$$ $$2\frac{3}{8} = \frac{2 \times 8 + 3}{8} = \frac{19}{8}$$ Теперь умножим: $$\frac{24}{19} \times \frac{19}{8}$$ Сократим 19 и 19 на 19, а 24 и 8 на 8. $$\frac{\cancel{24}^{3}}{\cancel{19}^{1}} \times \frac{\cancel{19}^{1}}{\cancel{8}^{1}} = \frac{3}{1} \times \frac{1}{1} = 3$$ **Ответ: 3**