Найти OB, AC, BD, SAOD, SBOC, если дано: \angle A = \angle B, CO = 4, DO = 6, AO = 5.

1. Дано: $ \angle A = \angle B $, $ CO = 4 $, $ DO = 6 $, $ AO = 5 $. Найти: а) $ OB $; б) $ AC $, $ BD $; в) $ S_{AOD} $, $ S_{BOC} $. а) Так как $ \angle A = \angle B $, то трапеция $ ABCD $ — равнобедренная. В равнобедренной трапеции диагонали равны ($ AC = BD $) и отрезки диагоналей, исходящие из одной вершины, также равны ($ AO = BO $, $ CO = DO $). Из условия $ CO = 4 $, $ DO = 6 $. Это противоречит свойству равнобедренной трапеции $ CO = DO $. Возможно, в условии допущена опечатка, и речь идет о том, что $ \angle CAD = \angle CBD $. В этом случае треугольники $ AOD $ и $ BOC $ подобны по двум углам (углы $ ODA $ и $ OCB $ как углы при основании равнобедренной трапеции, а $ \angle AOD $ и $ \angle BOC $ как вертикальные). **Допущение: Треугольники $AOD$ и $BOC$ подобны, так как $ \angle A = \angle B $ не может быть в трапеции.** Из подобия треугольников $AOD$ и $BOC$ следует отношение сторон: $ \frac{AO}{BO} = \frac{DO}{CO} = \frac{AD}{BC} $ Подставляем известные значения: $ \frac{5}{BO} = \frac{6}{4} $ $ \frac{5}{BO} = \frac{3}{2} $ $ 3 \cdot BO = 5 \cdot 2 $ $ 3 \cdot BO = 10 $ $ BO = \frac{10}{3} \text{ см} $ б) Найдем $ AC $ и $ BD $. $ AC = AO + OC = 5 + 4 = 9 \text{ см} $ $ BD = BO + OD = \frac{10}{3} + 6 = \frac{10}{3} + \frac{18}{3} = \frac{28}{3} \text{ см} $ в) Найдем площади $ S_{AOD} $ и $ S_{BOC} $. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия $ k = \frac{DO}{CO} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} $ Отношение площадей: $ \frac{S_{AOD}}{S_{BOC}} = k^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} $ Для нахождения площадей необходимо знать высоту. Без дополнительной информации (например, длины основания или высоты) нельзя найти численные значения площадей. **Ответ:** а) $ BO = \frac{10}{3} \text{ см} $ б) $ AC = 9 \text{ см} $, $ BD = \frac{28}{3} \text{ см} $ в) $ \frac{S_{AOD}}{S_{BOC}} = \frac{9}{4} $. Для точного значения площадей недостаточно данных.