В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведены биссектриса AF и высота AH. Найдите углы треугольника AHF, если $\angle B=112^\circ$.

1. Углы равнобедренного треугольника $ABC$: Так как $AB=BC$, то углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$: $\angle BAC + \angle BCA + \angle ABC = 180^\circ$. Пусть $\angle BAC = \angle BCA = x$. Тогда $2x + 112^\circ = 180^\circ$. $2x = 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ$. $x = 34^\circ$. Значит, $\angle BAC = 34^\circ$ и $\angle BCA = 34^\circ$. 2. Угол $\angle BAF$: $AF$ — биссектриса угла $\angle BAC$. Значит, она делит его пополам. $\angle BAF = \angle FAC = \frac{\angle BAC}{2} = \frac{34^\circ}{2} = 17^\circ$. 3. Угол $\angle AHB$: $AH$ — высота к основанию $BC$, значит, $AH \perp BC$. Следовательно, $\angle AHB = 90^\circ$. 4. Угол $\angle BAH$: Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. $\angle BAH + \angle ABH + \angle AHB = 180^\circ$. $\angle BAH + 112^\circ + 90^\circ \neq 180^\circ$. **Допущение:** В условии задачи сказано, что $AC$ — основание, а высота $AH$ проведена. Обычно высота проводится к стороне, не являющейся основанием, если не указано иное. Если $AC$ — основание, то $AH$ — высота к $BC$, что приводит к $\angle AHB = 90^\circ$. Если $AH$ — высота к $BC$, то в треугольнике $ABC$ со сторонами $AB=BC$ угол $B$ равен $112^\circ$, тогда углы при основании $A$ и $C$ равны $34^\circ$. В этом случае $AH$ является высотой, проведённой к стороне $BC$. В треугольнике $ABH$ $\angle B=112^\circ$, $\angle AHB=90^\circ$. Сумма углов в треугольнике не может быть больше $180^\circ$, то есть $112^\circ+90^\circ > 180^\circ$. Это означает, что $AH$ не может быть высотой к стороне $BC$ в тупоугольном треугольнике $ABC$ с тупым углом $B$. Высота из вершины $A$ к стороне $BC$ должна падать на продолжение стороны $BC$. Рассмотрим другой вариант: $AH$ — высота к $AC$. Тогда $AH \perp AC$. В треугольнике $AHC$: $\angle AHC = 90^\circ$. $\angle HAC = 90^\circ - \angle HCA = 90^\circ - 34^\circ = 56^\circ$. 5. Углы треугольника $AHF$: Мы знаем $\angle FAC = 17^\circ$. Это угол $AF$ с $AC$. Мы нашли $\angle HAC = 56^\circ$. Это угол $AH$ с $AC$. Угол $\angle FAH = \angle HAC - \angle FAC = 56^\circ - 17^\circ = 39^\circ$. В треугольнике $AHF$ мы знаем: $\angle AHF = 90^\circ$ (так как $AH \perp AC$) $\angle FHA$ (если $H$ лежит на $AC$) Давай пересчитаем, учитывая, что $AH$ — высота. Если $AC$ основание, то $AB=BC$. $\angle B=112^\circ$. Углы при основании $\angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - 112^\circ)/2 = 68^\circ/2 = 34^\circ$. $AF$ — биссектриса угла $\angle BAC$, значит, $\angle FAC = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{34^\circ}{2} = 17^\circ$. $AH$ — высота. Если $AH$ проведена к основанию $AC$, то $AH$ также является медианой и биссектрисой, и треугольник $ABC$ не был бы тупоугольным (угол $B=112^\circ$). Значит, $AH$ проведена к одной из боковых сторон, например к $BC$. Если $AH$ — высота к $BC$, то точка $H$ лежит на продолжении стороны $BC$, так как $\angle B$ — тупой. В прямоугольном треугольнике $AHC$ (если $H$ на продолжении $BC$): $\angle ACH = 180^\circ - \angle BCA = 180^\circ - 34^\circ = 146^\circ$. Это не может быть, так как $\angle HCA$ — это угол $BCA$. Точка $H$ должна быть на прямой $BC$. Предположим, что $AH$ — высота к стороне $BC$. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$, $\angle B = 112^\circ$. Тогда $\angle A = \angle C = (180^\circ - 112^\circ)/2 = 34^\circ$. Биссектриса $AF$ делит $\angle A$ пополам: $\angle BAF = \angle FAC = 34^\circ / 2 = 17^\circ$. Высота $AH$ опущена на сторону $BC$. Так как $\angle B = 112^\circ$ (тупой), то точка $H$ будет лежать на продолжении стороны $BC$ за точку $C$. Рассмотрим треугольник $ABH$. $\angle AHB = 90^\circ$. $\angle ABH = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ$. (Смежный с $\angle ABC$). В прямоугольном треугольнике $ABH$: $\angle BAH = 90^\circ - \angle ABH = 90^\circ - 68^\circ = 22^\circ$. Теперь рассмотрим углы треугольника $AHF$. $\angle HAF = \angle BAC - \angle BAH - \angle FAC$ (если $H$ находится вне $BC$) Или $\angle HAF = \angle FAC - \angle HAC$ (если $H$ находится на $AC$) Давай разберёмся с положением $H$. Если $AH$ — высота, то она может быть к $AC$ или к $BC$ (или $AB$). Так как $AC$ — основание, то $AH$ — высота к одной из боковых сторон ($AB$ или $BC$). Пусть $AH$ — высота к $BC$. Точка $H$ лежит на продолжении $BC$ за точку $C$, потому что $\angle B$ тупой. 1. Найдем углы треугольника $ABC$: Так как $\triangle ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, то $AB=BC$. $\angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - \angle B)/2 = (180^\circ - 112^\circ)/2 = 68^\circ/2 = 34^\circ$. 2. Найдем углы, связанные с биссектрисой $AF$: $AF$ — биссектриса $\angle BAC$. $\angle FAB = \angle FAC = \angle BAC / 2 = 34^\circ / 2 = 17^\circ$. 3. Найдем углы, связанные с высотой $AH$: $AH$ — высота к стороне $BC$. Поскольку $\angle B = 112^\circ$ (тупой), точка $H$ лежит на продолжении стороны $BC$ за точку $C$. Тогда $\angle AHC = 90^\circ$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$. $\angle HCA$ — это угол $BCA$, который равен $34^\circ$. (Ошибка в предыдущем рассуждении. $\angle HCA$ здесь — это внешний угол при вершине $C$, если $H$ за $C$). Давай построим картинку. Треугольник $ABC$ тупоугольный при $B$. Вершина $A$ вверху слева, $B$ вверху справа, $C$ внизу. Основание $AC$. Если $AH$ — высота к $BC$, то $H$ будет лежать на продолжении $BC$ за $B$ или за $C$. Если $AB=BC$, $\angle B=112^\circ$. Углы при основании $\angle A=\angle C=34^\circ$. Биссектриса $AF$ делит $\angle A$ пополам, значит $\angle FAC = 17^\circ$. Высота $AH$ к стороне $BC$. Поскольку $\angle B$ тупой, $H$ будет лежать на продолжении стороны $CB$ за точку $B$. Рассмотрим треугольник $AHB$. $\angle AHB=90^\circ$. $\angle ABH = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ$. Тогда $\angle BAH = 90^\circ - \angle ABH = 90^\circ - 68^\circ = 22^\circ$. Теперь посмотрим на треугольник $AHF$. Нам нужно найти $\angle AHF$, $\angle HFA$, $\angle FAH$. $\angle AHF = 90^\circ$ (по построению $AH \perp BH$, а $H$ на продолжении $BC$). $\angle FAH = \angle FAB + \angle BAH = 17^\circ + 22^\circ = 39^\circ$. Теперь найдем $\angle HFA$ в треугольнике $AHF$. $\angle HFA = 180^\circ - \angle AHF - \angle FAH = 180^\circ - 90^\circ - 39^\circ = 90^\circ - 39^\circ = 51^\circ$. **Ответ:** Углы треугольника $AHF$: $\angle AHF = 90^\circ$, $\angle FAH = 39^\circ$, $\angle HFA = 51^\circ$.