Докажите, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$, если в треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ медианы $BM$ и $B_1M_1$ равны, $AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$.

140. В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ медианы $BM$ и $B_1M_1$ равны, $AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$. Докажите, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$. **Доказательство:** Дано: * $BM = B_1M_1$ (медианы) * $AB = A_1B_1$ * $AC = A_1C_1$ Нужно доказать: $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ 1. Так как $BM$ и $B_1M_1$ — медианы, то $M$ и $M_1$ — середины сторон $AC$ и $A_1C_1$ соответственно. Значит, $AM = MC = \frac{1}{2}AC$ и $A_1M_1 = M_1C_1 = \frac{1}{2}A_1C_1$. 2. Поскольку $AC = A_1C_1$, то и $AM = A_1M_1$. 3. Рассмотрим $\triangle ABM$ и $\triangle A_1B_1M_1$: * $AB = A_1B_1$ (дано) * $BM = B_1M_1$ (дано) * $AM = A_1M_1$ (доказано в п. 2) По трём сторонам (III признак равенства треугольников) $\triangle ABM = \triangle A_1B_1M_1$. 4. Из равенства $\triangle ABM = \triangle A_1B_1M_1$ следует, что соответствующие углы равны, то есть $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$. 5. Теперь рассмотрим $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$: * $AB = A_1B_1$ (дано) * $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$ (доказано в п. 4) * $AC = A_1C_1$ (дано) По двум сторонам и углу между ними (I признак равенства треугольников) $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$. **Что и требовалось доказать.**