Решите уравнение: а) $1/x - 4/(x-1) = 1$

а) Решим уравнение: $$\frac{1}{x} - \frac{4}{x-1} = 1$$ Найдём общий знаменатель: $x(x-1)$. Дополнительные условия: $x \neq 0$ и $x \neq 1$. Приведём дроби к общему знаменателю: $$\frac{1 \cdot (x-1)}{x(x-1)} - \frac{4 \cdot x}{x(x-1)} = \frac{1 \cdot x(x-1)}{x(x-1)}$$ $$x-1 - 4x = x(x-1)$$ $$x-1 - 4x = x^2 - x$$ $$-3x - 1 = x^2 - x$$ Перенесём все слагаемые в правую часть: $$0 = x^2 - x + 3x + 1$$ $$x^2 + 2x + 1 = 0$$ Это квадрат суммы, его можно записать так: $$(x+1)^2 = 0$$ Отсюда получаем: $$x+1 = 0$$ $$x = -1$$ Проверим, удовлетворяет ли корень дополнительным условиям. $x=-1$ не равен $0$ и $1$, значит, корень подходит. **Ответ: $x = -1$** г) Решим уравнение: $$\frac{7}{x+4} + x = 4$$ Дополнительное условие: $x \neq -4$. Перенесём $x$ и $4$ в левую часть, чтобы справа остался $0$: $$\frac{7}{x+4} + x - 4 = 0$$ Приведём к общему знаменателю $x+4$: $$\frac{7}{x+4} + \frac{x(x+4)}{x+4} - \frac{4(x+4)}{x+4} = 0$$ $$\frac{7 + x(x+4) - 4(x+4)}{x+4} = 0$$ Раскроем скобки в числителе: $$\frac{7 + x^2 + 4x - 4x - 16}{x+4} = 0$$ $$\frac{x^2 - 9}{x+4} = 0$$ Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю: $$x^2 - 9 = 0$$ $$(x-3)(x+3) = 0$$ Отсюда получаем два возможных корня: $$x-3 = 0 \implies x = 3$$ $$x+3 = 0 \implies x = -3$$ Проверим эти корни на соответствие дополнительному условию $x \neq -4$. Оба корня $x=3$ и $x=-3$ не равны $-4$, значит, они подходят. **Ответ: $x_1 = 3, x_2 = -3$**