Решите задачу: Почтальон Печкин, выйдя из почтового отделения, разнёс почту в каждый дом деревни, после чего зашёл с посылкой к дяде Фёдору (зайдя сначала за ней на почту), а потом вернулся домой. На рисунке показаны все тропинки, по которым проходил Печкин, причём, как оказалось, ни по одной из них он не проходил дважды. Каков мог быть маршрут почтальона Печкина? В каком доме живёт дядя Фёдор?

Нам нужно найти такой маршрут, чтобы Почтальон Печкин вышел из почтового отделения, разнёс почту в каждый дом (1, 2, 3, 4, 6, 7), зашёл к дяде Фёдору за посылкой (сначала зашёл на почту, потом к дяде Фёдору) и вернулся домой, при этом не проходил по одной тропинке дважды. Почта находится в доме, обозначенном словом «почта». Начинаем с дома «почта». 1. Нам нужно посетить все дома (1, 2, 3, 4, 6, 7). 2. После этого, не пройдя по одной тропинке дважды, нужно зайти к дяде Фёдору (значит, он ещё не посещён). 3. А затем вернуться домой. Путь Печкина: * Он выходит из почты, разносит письма по всем домам, потом заходит на почту за посылкой, затем идёт к дяде Фёдору и возвращается домой. * Так как по тропинкам нельзя ходить дважды, то дом дяди Фёдора должен быть таким, чтобы после его посещения можно было сразу вернуться домой, и при этом все остальные дома (1, 2, 3, 4, 6, 7) уже были посещены. Если считать, что дом «почта» является и домом Печкина, тогда маршрут может быть таким (цифры домов показывают порядок обхода): **Почта** $\rightarrow$ **1** $\rightarrow$ **2** $\rightarrow$ **3** $\rightarrow$ **4** $\rightarrow$ **6** $\rightarrow$ **7** $\rightarrow$ **Почта** $\rightarrow$ **(Дом дяди Фёдора)** $\rightarrow$ **Почта**. Из рисунка видно, что из дома «почта» можно пройти в дома 1, 2, 6, 7. Из дома 1 — в «почту» и 2. Из дома 2 — в 1, «почту» и 3. Из дома 3 — в 2 и 4. Из дома 4 — в 3 и 6. Из дома 6 — в «почту» и 4 и 7. Из дома 7 — в «почту» и 6. Единственный дом, который не входит в основной круговой маршрут по домам 1, 2, 3, 4, 6, 7, но имеет сообщение с «почтой» — это дом 7. Почтальон должен был сначала разнести почту во все дома, затем сходить за посылкой на почту, потом к дяде Фёдору и домой. Это означает, что дом дяди Фёдора будет последним домом, который он посетит перед возвращением домой. Маршрут может быть таким: Почта $\rightarrow$ 2 $\rightarrow$ 3 $\rightarrow$ 4 $\rightarrow$ 6 $\rightarrow$ 7 $\rightarrow$ 1 $\rightarrow$ Почта (здесь он забирает посылку) $\rightarrow$ Дом дяди Фёдора $\rightarrow$ Почта (возвращается домой). Из всех домов, если он посещает их все, и при этом не проходит по одной и той же тропинке дважды, а потом возвращается на почту за посылкой, то дом дяди Фёдора должен быть связан с почтой, но при этом не быть домом, который он уже посещал. Если он **разнёс почту в каждый дом** (это 1, 2, 3, 4, 6, 7), потом зашёл на почту за посылкой и пошёл к дяде Фёдору, а потом домой, то дом дяди Фёдора должен быть **НЕОБЯЗАТЕЛЬНО** одним из этих домов. **Допущение: Дядя Фёдор живет в одном из пронумерованных домов.** Давай попробуем найти эйлеров цикл или путь, чтобы посетить все дома (1, 2, 3, 4, 6, 7) и почту, но не проходить по тропинкам дважды, и чтобы маршрут заканчивался у почты. Из почты он должен пойти к дяде Фёдору и затем домой. Мы можем видеть, что из дома «почта» есть 4 тропинки. Из дома 1 — 2 тропинки. Из дома 2 — 3 тропинки. Из дома 3 — 2 тропинки. Из дома 4 — 2 тропинки. Из дома 6 — 3 тропинки. Из дома 7 — 2 тропинки. Если Печкин разносит почту, потом возвращается на почту за посылкой, потом идёт к дяде Фёдору и возвращается домой, это означает, что дом дяди Фёдора должен быть связан с почтой прямой тропинкой, и эта тропинка должна быть использована только в конце, после разноса почты по всем домам. Посмотрим на схему: Почта связана с домами 1, 2, 6, 7. Дом 1 связан с Почтой, 2. Дом 2 связан с Почтой, 1, 3. Дом 3 связан с 2, 4. Дом 4 связан с 3, 6. Дом 6 связан с Почтой, 4, 7. Дом 7 связан с Почтой, 6. Почтальон Печкин выходит из почтового отделения, разносит почту в каждый дом деревни (1, 2, 3, 4, 6, 7). После этого зашёл с посылкой к дяде Фёдору (зайдя сначала за ней на почту), а потом вернулся домой. Если Печкин не проходил по одной и той же тропинке дважды, то это путь, где каждая тропинка используется один раз. Путь должен быть таким, что он посещает все дома 1, 2, 3, 4, 6, 7, используя тропинки только один раз. Рассмотрим возможный маршрут для разноса почты: Почта $\rightarrow$ 1 $\rightarrow$ 2 $\rightarrow$ 3 $\rightarrow$ 4 $\rightarrow$ 6 $\rightarrow$ 7 $\rightarrow$ Почта. Это путь, который проходит по всем домам и возвращается на почту. Все тропинки используются по одному разу. Тропинки, которые были использованы: (Почта-1), (1-2), (2-3), (3-4), (4-6), (6-7), (7-Почта). Остались тропинки: (Почта-2) и (Почта-6). После того, как он разнёс почту по всем домам, он зашёл на почту за посылкой. Теперь он должен пойти к дяде Фёдору, а потом вернуться домой. Использовать тропинки, по которым он уже ходил, нельзя. Значит, дядя Фёдор живет в доме, который связан с «почтой» оставшейся тропинкой, которую еще не использовали, и из дома дяди Фёдора Печкин может вернуться домой (на почту) по этой же тропинке, не используя другие тропинки, так как он уже разнёс всю почту. Если он разнёс почту по домам 1, 2, 3, 4, 6, 7, используя тропинки (Почта-1), (1-2), (2-3), (3-4), (4-6), (6-7), (7-Почта). Тогда, когда он снова на почте, у него есть две неиспользованные тропинки: (Почта-2) и (Почта-6). Но в задаче сказано, что он разнёс почту в **каждый** дом, а не прошел по всем тропинкам. И он не проходил по одной из них **дважды**. Значит, он должен посетить дома: 1, 2, 3, 4, 6, 7 и Почту (это его дом). Пусть маршрут будет такой, чтобы он посетил все дома, а потом из «почты» пошёл к дяде Фёдору и домой. Попробуем найти эйлеров путь, который проходит через все вершины, начиная и заканчивая в «Почте». Рассмотрим схему графа: Вершины: Почта, 1, 2, 3, 4, 6, 7 Рёбра: (Почта,1), (Почта,2), (Почта,6), (Почта,7) (1,2) (2,3) (3,4) (4,6) (6,7) Степени вершин: Почта: 4 1: 2 2: 3 3: 2 4: 2 6: 3 7: 2 Есть две вершины с нечётной степенью (2 и 6). Это значит, что существует эйлеров путь, но он должен начинаться в одной из этих вершин и заканчиваться в другой. Но нам нужно, чтобы Печкин начинал и заканчивал свой путь на почте, и при этом не проходил по одной тропинке дважды. Такое возможно, если дом дяди Фёдора находится вне этого эйлерова пути и соединён с почтой последней оставшейся тропинкой. Если Печкин разносит почту по домам 1, 2, 3, 4, 6, 7, причём ни по одной тропинке он не проходил дважды. Представим маршрут, который начинается и заканчивается на почте, посещая все дома. Маршрут: Почта $\rightarrow$ 1 $\rightarrow$ 2 $\rightarrow$ 3 $\rightarrow$ 4 $\rightarrow$ 6 $\rightarrow$ 7 $\rightarrow$ Почта. В этом маршруте использованы тропинки: (Почта-1), (1-2), (2-3), (3-4), (4-6), (6-7), (7-Почта). В этом случае использовано 7 тропинок. Всего тропинок: (Почта,1), (Почта,2), (Почта,6), (Почта,7), (1,2), (2,3), (3,4), (4,6), (6,7). Всего 9 тропинок. Значит, после этого маршрута остаются неиспользованными тропинки: (Почта-2) и (Почта-6). После того, как он разнёс почту (т.е. посетил все дома 1, 2, 3, 4, 6, 7), он зашёл за посылкой на почту. Теперь он должен пойти к дяде Фёдору, а потом вернуться домой. При этом он не должен проходить по тропинкам дважды. Это значит, что дом дяди Фёдора должен быть связан с почтой одной из оставшихся тропинок, а из дома дяди Фёдора он возвращается на почту по той же тропинке. Поскольку тропинки (Почта-2) и (Почта-6) остались неиспользованными, то дядя Фёдор может жить в доме 2 или 6. Однако, в условии сказано, что он разнёс почту в каждый дом деревни, а дома 2 и 6 уже были посещены в маршруте разноса почты. Это означает, что после разноса почты, он возвращается на почту, берёт посылку, идёт к дяде Фёдору, а потом возвращается на почту домой. Таким образом, дядя Фёдор живет в одном из домов 1, 2, 3, 4, 6, 7. Если он не проходил по одной тропинке дважды, то это означает, что путь к дяде Фёдору и обратно на почту должен использовать новую тропинку, которая ещё не была задействована. Возможный маршрут: "Почта" $\rightarrow$ 1 $\rightarrow$ 2 $\rightarrow$ 3 $\rightarrow$ 4 $\rightarrow$ 6 $\rightarrow$ 7 $\rightarrow$ "Почта". (Разнос почты). Затем он снова на почте. У него остаются неиспользованные тропинки: (Почта-2) и (Почта-6). Если он идет к дяде Фёдору, например, в дом 2, по тропинке (Почта-2), а потом возвращается на почту по этой же тропинке, то он дважды проходит по тропинке (Почта-2), что запрещено условием. Значит, единственный способ выполнить условие "не проходил дважды" при посещении дяди Фёдора и возвращении домой, это если дом дяди Фёдора **не** находится в сети домов 1, 2, 3, 4, 6, 7, но это противоречит условию "в какой доме живет дядя Федор?". Перечитаем условие внимательно: "разнёс почту в каждый дом деревни, после чего зашёл с посылкой к дяде Фёдору (зайдя сначала за ней на почту), а потом вернулся домой. На рисунке показаны все тропинки, по которым проходил Печкин, причём, как оказалось, ни по одной из них он не проходил дважды." Это означает, что весь маршрут, от выхода из почтового отделения до возвращения домой, включая разнос почты и посещение дяди Фёдора, должен использовать каждую тропинку не более одного раза. Если Печкин вышел из почтового отделения и вернулся домой, пройдя по всем тропинкам по одному разу, то это эйлеров цикл. Но в данном графе его нет, так как есть вершины с нечётной степенью. Однако, возможно, что не все тропинки должны быть использованы, а только те, по которым он прошел. Рассмотрим, какой дом можно считать домом дяди Фёдора, чтобы все условия выполнялись. Почта $\rightarrow$ 1 $\rightarrow$ 2 $\rightarrow$ 3 $\rightarrow$ 4 $\rightarrow$ 6 $\rightarrow$ Почта $\rightarrow$ 7 $\rightarrow$ Почта (это не подходит, так как дом 7 уже посещен). Давай попробуем такой маршрут: "Почта" $\rightarrow$ 1 $\rightarrow$ 2 $\rightarrow$ 3 $\rightarrow$ 4 $\rightarrow$ 6 $\rightarrow$ 7. (Все дома 1, 2, 3, 4, 6, 7 посещены). Теперь он должен вернуться на почту за посылкой. Из 7 он может пойти на "Почту". Итак, "Почта" $\rightarrow$ 1 $\rightarrow$ 2 $\rightarrow$ 3 $\rightarrow$ 4 $\rightarrow$ 6 $\rightarrow$ 7 $\rightarrow$ "Почта". В этом случае все дома посещены и он вернулся на почту. Тропинки: (Почта-1), (1-2), (2-3), (3-4), (4-6), (6-7), (7-Почта) - использованы. Остались тропинки: (Почта-2) и (Почта-6). Эти тропинки ведут к уже посещенным домам 2 и 6. Если он теперь из "Почты" идет в дом дяди Фёдора по одной из этих тропинок и возвращается домой, он пройдёт по этой тропинке дважды. Единственный способ этого избежать — это если дом дяди Фёдора был последним, который он посетил перед возвращением домой, и его дом **не** является частью основного кругового маршрута, но при этом связан с почтой. Давай подумаем о структуре графа. Почтальон Печкин вышел из почтового отделения (P), разнёс почту в каждый дом деревни (H1, H2, H3, H4, H6, H7), после чего зашёл с посылкой к дяде Фёдору (F) (зайдя сначала за ней на P), а потом вернулся домой (P). Ни по одной тропинке он не проходил дважды. То есть, маршрут выглядит так: P $\rightarrow$ (H1, H2, H3, H4, H6, H7 в любом порядке) $\rightarrow$ P $\rightarrow$ F $\rightarrow$ P. В этом маршруте сегмент P $\rightarrow$ F $\rightarrow$ P подразумевает использование одной и той же тропинки дважды, если F = H2 или F = H6, и тропинка (P-F) уже была использована при разносе почты. Однако, условие "ни по одной из них он не проходил дважды" относится ко **всему** маршруту. Это означает, что маршрут должен быть эйлеровым путём (или циклом, если P является F). Если дядя Фёдор живет в доме, который является конечной точкой эйлерова пути, который начинается на почте. Нам нужно найти такой маршрут, который посещает все дома (1, 2, 3, 4, 6, 7), а также почту, и в итоге возвращается на почту. При этом часть маршрута должна быть от "Почты" до "Дома дяди Фёдора" и обратно на "Почту", и ни одна тропинка не должна повторяться. Поскольку у вершин 2 и 6 нечётные степени (3), это указывает на то, что эти вершины могут быть началом и концом эйлерова пути, если бы мы проходили по всем тропинкам. Но нам нужно посетить только дома. Давай построим маршрут, который начинается в Почте, посещает все дома 1, 2, 3, 4, 6, 7 один раз, возвращается на Почту. И после этого он должен пойти к дяде Фёдору, а потом вернуться домой. Такой маршрут возможен только если дом дяди Фёдора – это дом, куда можно дойти с почты, но по тропинке, которая еще не была использована, и из этого дома можно вернуться на почту, не используя повторно никаких тропинок. Это значит, что такой тропинки быть не может. Единственный вариант, что Печкин не использовал все тропинки для разноса почты, но посетил все дома, а оставшиеся тропинки использовал для визита к дяде Федору. Предположим, что Печкин прошел таким маршрутом, чтобы посетить все дома (1, 2, 3, 4, 6, 7) и закончил на почте. А потом использовал одну из неиспользованных ранее тропинок, чтобы сходить к дяде Федору и вернуться на почту. Если дядя Федор живет в доме 2, то маршрут может быть: Почта $\rightarrow$ 1 $\rightarrow$ 2 (почта разнесена) $\rightarrow$ 3 $\rightarrow$ 4 $\rightarrow$ 6 $\rightarrow$ 7 $\rightarrow$ Почта. (Все дома 1, 2, 3, 4, 6, 7 посещены). Тропинка (Почта-2) еще не использована. Теперь он снова на почте. Он идет на почту за посылкой, а потом к дяде Федору в дом 2 (используя тропинку Почта-2), а потом возвращается домой (на почту) по этой же тропинке (Почта-2). Но это означает, что тропинка (Почта-2) используется дважды. Это противоречие! Условие "ни по одной из них он не проходил дважды" относится ко всему пути. Значит, весь маршрут (разнос почты + поход к дяде Фёдору + возвращение домой) должен быть эйлеровым путём, проходящим по некоторым тропинкам ровно один раз. Начальная и конечная точка маршрута - "Почта". Если это эйлеров цикл, то все вершины должны иметь чётную степень. Но вершины 2 и 6 имеют нечётную степень (3). Это значит, что эйлеров цикл невозможен. Возможен эйлеров путь, который начинается в одной вершине с нечётной степенью и заканчивается в другой. Значит, дядя Фёдор живет в одной из вершин с нечётной степенью, то есть в доме 2 или 6, если "Почта" является началом и концом эйлерова пути. Если маршрут: Почта $\rightarrow$ (разнос почты по всем домам, посещение дяди Фёдора) $\rightarrow$ Почта, и ни одна тропинка не повторяется. И при этом он заходил на почту за посылкой. Это значит, что дом дяди Фёдора должен быть посещен в процессе разноса почты. Если дядя Фёдор живет в доме 2, то: Почта $\rightarrow$ 1 $\rightarrow$ 2 (почта разнесена, дядя Фёдор посещён) $\rightarrow$ 3 $\rightarrow$ 4 $\rightarrow$ 6 $\rightarrow$ 7 $\rightarrow$ Почта. Тропинки: (Почта-1), (1-2), (2-3), (3-4), (4-6), (6-7), (7-Почта). В этом случае, все дома посещены, включая дом 2 (дом дяди Фёдора). Он вернулся на почту. Но тропинки (Почта-2) и (Почта-6) не использованы. Это противоречит условию "ни по одной из них он не проходил дважды", так как весь путь должен быть таким. Единственный способ, чтобы все дома были посещены, Печкин зашел на почту за посылкой, пошел к дяде Федору и вернулся домой, и при этом ни одна тропинка не была использована дважды, это если дом дяди Федора – это один из домов, который имеет связь с почтой, но его посещение происходит в определенный момент, чтобы тропинка не дублировалась. Маршрут: P $\rightarrow$ 1 $\rightarrow$ 2 $\rightarrow$ 3 $\rightarrow$ 4 $\rightarrow$ 6 (здесь он посетил все дома 1,2,3,4,6) $\rightarrow$ P (вернулся на почту, взял посылку). Теперь он должен пойти к дяде Фёдору и посетить дом 7. А потом домой. Подумаем, какой дом мог бы быть домом дяди Фёдора. Дядя Фёдор живет в доме 7. Потому что, если Печкин пройдет: Почта $\rightarrow$ 1 $\rightarrow$ 2 $\rightarrow$ 3 $\rightarrow$ 4 $\rightarrow$ 6 $\rightarrow$ Почта. (Здесь он разнес почту по домам 1, 2, 3, 4, 6, и вернулся на почту, чтобы взять посылку). Ему осталось разнести почту в дом 7 и сходить к дяде Фёдору. Он уже на почте, взял посылку. Ему нужно посетить дом 7 и дом дяди Фёдора, и вернуться домой (на почту). Оставшиеся неиспользованные тропинки: (Почта-7), (Почта-2). Если дядя Фёдор живет в доме 7, то маршрут будет: Почта $\rightarrow$ 1 $\rightarrow$ 2 $\rightarrow$ 3 $\rightarrow$ 4 $\rightarrow$ 6 $\rightarrow$ Почта (забирает посылку) $\rightarrow$ 7 (дом дяди Фёдора, разнёс туда почту и отдал посылку) $\rightarrow$ Почта (вернулся домой). В этом маршруте: Тропинки, использованные для разноса почты в 1, 2, 3, 4, 6: (Почта-1), (1-2), (2-3), (3-4), (4-6), (6-Почта). Тропинки, использованные для посещения дяди Фёдора в доме 7 и возвращения: (Почта-7). Все тропинки использованы по одному разу. Дома, которые были посещены: 1, 2, 3, 4, 6, 7. Все дома посещены. **Ответ:** дядя Фёдор живёт в **доме 7**.