Решите уравнения: $y^2 - y - 30 = 0$

1) Решить уравнение $y^2 - y - 30 = 0$ Это квадратное уравнение вида $ay^2 + by + c = 0$, где $a=1$, $b=-1$, $c=-30$. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 1 + 120 = 121$$ Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$y_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 11}{2} = \frac{12}{2} = 6$$ $$y_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 11}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$ **Ответ: $y_1 = 6$, $y_2 = -5$** 2) Решить уравнение $x^2 + 2x - 8 = 0$ Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=1$, $b=2$, $c=-8$. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$$ Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ $$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$ **Ответ: $x_1 = 2$, $x_2 = -4$** 3) Решить уравнение $5t^2 - 5t - 2 = 0$ Это квадратное уравнение вида $at^2 + bt + c = 0$, где $a=5$, $b=-5$, $c=-2$. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 25 + 40 = 65$$ Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$t_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{65}}{2 \cdot 5} = \frac{5 + \sqrt{65}}{10}$$ $$t_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{65}}{2 \cdot 5} = \frac{5 - \sqrt{65}}{10}$$ **Ответ: $t_1 = \frac{5 + \sqrt{65}}{10}$, $t_2 = \frac{5 - \sqrt{65}}{10}$** 4) Решить уравнение $\frac{1}{2}x^2 - 3x + 4 = 0$ Умножим все части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби: $$x^2 - 6x + 8 = 0$$ Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=1$, $b=-6$, $c=8$. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$$ Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ $$x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ **Ответ: $x_1 = 4$, $x_2 = 2$** 5) Решить уравнение $x^2 - 8x + 16 = 0$ Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=1$, $b=-8$, $c=16$. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 64 - 64 = 0$$ Так как $D = 0$, уравнение имеет один корень (или два совпадающих корня). Найдем его по формуле $x = \frac{-b}{2a}$: $$x = \frac{-(-8)}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4$$ Это также можно заметить как формулу квадрата разности: $(x-4)^2 = 0$, откуда $x-4=0$, $x=4$. **Ответ: $x = 4$** 6) Решить уравнение $\frac{1}{2}x^2 - 2x + 8 = 0$ Умножим все части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби: $$x^2 - 4x + 16 = 0$$ Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=1$, $b=-4$, $c=16$. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 16 - 64 = -48$$ Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. **Ответ: Нет действительных корней** 7) Решить уравнение $(2x - 1)^2 - 4x = 13$ Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $$ (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 - 4x = 13$$ $$ 4x^2 - 4x + 1 - 4x = 13$$ Приведем подобные слагаемые и перенесем все в левую часть: $$ 4x^2 - 8x + 1 - 13 = 0$$ $$ 4x^2 - 8x - 12 = 0$$ Разделим все части уравнения на 4: $$ x^2 - 2x - 3 = 0$$ Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=1$, $b=-2$, $c=-3$. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$ Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ $$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ **Ответ: $x_1 = 3$, $x_2 = -1$** 8) Решить уравнение $x(x + 2) - 3(x - 4) = 5x + 3$ Раскроем скобки: $$ x^2 + 2x - 3x + 12 = 5x + 3$$ Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные: $$ x^2 + 2x - 3x - 5x + 12 - 3 = 0$$ $$ x^2 - 6x + 9 = 0$$ Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=1$, $b=-6$, $c=9$. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0$$ Так как $D = 0$, уравнение имеет один корень. Найдем его по формуле $x = \frac{-b}{2a}$: $$x = \frac{-(-6)}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$$ Это также можно заметить как формулу квадрата разности: $(x-3)^2 = 0$, откуда $x-3=0$, $x=3$. **Ответ: $x = 3$** 9) Решить уравнение $x^2 - \sqrt{3}x - 6 = 0$ Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=1$, $b=-\sqrt{3}$, $c=-6$. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 3 + 24 = 27$$ Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$x_1 = \frac{-(-\sqrt{3}) + \sqrt{27}}{2 \cdot 1} = \frac{\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$$ $$x_2 = \frac{-(-\sqrt{3}) - \sqrt{27}}{2 \cdot 1} = \frac{\sqrt{3} - 3\sqrt{3}}{2} = \frac{-2\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}$$ **Ответ: $x_1 = 2\sqrt{3}$, $x_2 = -\sqrt{3}$** 10) Решить уравнение $\frac{1}{2}x^2 - 2\sqrt{5}x + 5,5 = 0$ Умножим все части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби: $$x^2 - 4\sqrt{5}x + 11 = 0$$ Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=1$, $b=-4\sqrt{5}$, $c=11$. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-4\sqrt{5})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = (16 \cdot 5) - 44 = 80 - 44 = 36$$ Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$x_1 = \frac{-(-4\sqrt{5}) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4\sqrt{5} + 6}{2} = 2\sqrt{5} + 3$$ $$x_2 = \frac{-(-4\sqrt{5}) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4\sqrt{5} - 6}{2} = 2\sqrt{5} - 3$$ **Ответ: $x_1 = 2\sqrt{5} + 3$, $x_2 = 2\sqrt{5} - 3$**