Решите уравнения: а) (1/25)^(1+x) = 5

1. Решите уравнения: а) $$\left(\frac{1}{25}\right)^{1+x} = 5$$ Преобразуем основание степени: $$\frac{1}{25} = \frac{1}{5^2} = 5^{-2}$$. Тогда уравнение станет: $$(5^{-2})^{1+x} = 5$$ $$5^{-2(1+x)} = 5^1$$ Приравниваем показатели: $$-2(1+x) = 1$$ $$-2 - 2x = 1$$ $$-2x = 1 + 2$$ $$-2x = 3$$ $$x = -\frac{3}{2}$$ **Ответ: $$\mathbf{x = -1.5}$$** б) $$4^{3x+5} = \left(\frac{1}{16}\right)^x$$ Преобразуем основания степеней: $$16 = 4^2$$, тогда $$\frac{1}{16} = 4^{-2}$$. Уравнение примет вид: $$4^{3x+5} = (4^{-2})^x$$ $$4^{3x+5} = 4^{-2x}$$ Приравниваем показатели: $$3x+5 = -2x$$ $$3x + 2x = -5$$ $$5x = -5$$ $$x = -1$$ **Ответ: $$\mathbf{x = -1}$$** в) $$5^x = 2^x$$ Это уравнение можно решить, разделив обе части на $$2^x$$ (так как $$2^x$$ всегда больше нуля): $$\frac{5^x}{2^x} = 1$$ $$\left(\frac{5}{2}\right)^x = 1$$ Мы знаем, что любое число в нулевой степени равно 1 (кроме 0). Значит, показатель степени должен быть равен 0: $$x = 0$$ **Ответ: $$\mathbf{x = 0}$$** г) $$3^{x+2} = 0.3 \cdot 10^{x+2}$$ Можно переписать $$0.3$$ как $$\frac{3}{10}$$: $$3^{x+2} = \frac{3}{10} \cdot 10^{x+2}$$ Разделим обе части на $$10^{x+2}$$ (так как $$10^{x+2}$$ всегда больше нуля): $$\frac{3^{x+2}}{10^{x+2}} = \frac{3}{10}$$ $$\left(\frac{3}{10}\right)^{x+2} = \frac{3}{10}$$ Это означает, что показатель степени должен быть равен 1: $$x+2 = 1$$ $$x = 1 - 2$$ $$x = -1$$ **Ответ: $$\mathbf{x = -1}$$**