Найти: а) OB, б) AC : BD, в) SAOC : SBOD, если дано: ∠A = ∠B, CO = 4, DO = 6, AO = 5 (рис. 7.54).

1. Дано: $\angle A = \angle B$, $CO = 4$, $DO = 6$, $AO = 5$. Найти: а) $OB$, б) $AC : BD$, в) $S_{AOC} : S_{BOD}$. Треугольники $AOC$ и $BOD$ подобны по двум углам: $\angle A = \angle B$ (дано), а $\angle AOC = \angle BOD$ (как вертикальные). Из подобия треугольников следует отношение сторон: $$\frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO} = \frac{AC}{BD}$$ Подставляем известные значения: $$\frac{5}{BO} = \frac{4}{6}$$ а) Найдем $OB$: $5 \cdot 6 = BO \cdot 4$ $30 = 4 \cdot BO$ $BO = \frac{30}{4} = \frac{15}{2} = 7.5$ б) Найдем отношение $AC : BD$: $$\frac{AC}{BD} = \frac{CO}{DO} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$ в) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $$k = \frac{CO}{DO} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$ $$\frac{S_{AOC}}{S_{BOD}} = k^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$$ **Ответ:** а) $OB = 7.5$; б) $AC : BD = 2 : 3$; в) $S_{AOC} : S_{BOD} = 4 : 9$.