Найдите угол LKN, если ∠LMN = 61° и ∠KNL = 28°.

1. Рассмотрим треугольники $LMN$ и $KLN$. Из условия известно, что $LM = NK$ и $MN = KL$. Сторона $LN$ является общей для обоих треугольников. Поскольку все три стороны одного треугольника равны трём сторонам другого треугольника, то эти треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам). То есть, $\triangle LMN = \triangle KNL$. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: * $\angle LMN = \angle KNL$ * $\angle MLN = \angle NKL$ * $\angle MNL = \angle KLN$ Нам дано, что $\angle LMN = 61^\circ$ и $\angle KNL = 28^\circ$. Это противоречит равенству $\angle LMN = \angle KNL$. Возможно, в условии допущена опечатка и имелось в виду $\triangle LMN = \triangle KNL$ или другое соответствие сторон. Однако, если предполагать, что равенство сторон $LM = NK$ и $MN = KL$ верно, то треугольники $LMN$ и $KLN$ равны по третьему признаку. Тогда углы, лежащие против равных сторон, тоже равны. Против стороны $LM$ лежит угол $\angle MNL$. Против стороны $NK$ лежит угол $\angle MLN$. Против стороны $MN$ лежит угол $\angle MLN$. Против стороны $KL$ лежит угол $\angle KNL$. Тогда $\angle LMN = \angle LKN$ (углы, лежащие против общей стороны $LN$). Так как $\angle LMN = 61^\circ$, то $\angle LKN = 61^\circ$. Но также мы имеем $\angle KNL = 28^\circ$. Если $\triangle LMN = \triangle KNL$, то $\angle KNL$ должен быть равен $\angle LMN$, что не так. Допустим, что верны следующие соответствия из равенства треугольников по трём сторонам: Если $\triangle LMN \cong \triangle NKL$ (то есть $LM$ соответствует $NK$, $MN$ соответствует $KL$, $LN$ соответствует $NL$), тогда: * $\angle LMN = \angle KNL = 28^\circ$. Но по условию $\angle LMN = 61^\circ$. Это противоречие. Если $\triangle LMN \cong \triangle LKN$ (то есть $LM$ соответствует $LK$, $MN$ соответствует $KN$, $LN$ соответствует $LN$), тогда: * $LM = LK$. По условию $LM = NK$. Значит, $LK = NK$. * $MN = KN$. По условию $MN = KL$. Значит, $KN = KL$. Это приводит к тому, что $LK=NK$ и $MN=KN$, что вместе с $LM=NK$ и $MN=KL$ означало бы $LM=LK=NK$ и $MN=KN=KL$. Тогда $LM=LK=NK$ и $MN=KL=KN$. При таком соответствии $\angle LMN = \angle LKN$. По условию $\angle LMN = 61^\circ$. Тогда $\angle LKN = 61^\circ$. Также из этого равенства следует $\angle MNL = \angle KNL$. Но по условию $\angle KNL = 28^\circ$. Тогда $\angle MNL = 28^\circ$. В треугольнике $LMN$ сумма углов $180^\circ$. То есть $\angle MLN + \angle LMN + \angle MNL = 180^\circ$. $\angle MLN + 61^\circ + 28^\circ = 180^\circ$. $\angle MLN + 89^\circ = 180^\circ$. $\angle MLN = 180^\circ - 89^\circ = 91^\circ$. **Ответ:** $\angle LKN = 61^\circ$