Найдите длину третьей стороны равнобедренного треугольника, если две другие равны 14 см и 20 см.

1. Чтобы треугольник существовал, сумма длин любых двух его сторон должна быть больше длины третьей стороны. В равнобедренном треугольнике две стороны равны. Рассмотрим два случая: Случай 1: Две равные стороны по 14 см. Длины сторон: 14 см, 14 см, 20 см. Проверим неравенство треугольника: $14 + 14 > 20 \Rightarrow 28 > 20$ (Верно) $14 + 20 > 14 \Rightarrow 34 > 14$ (Верно) Этот случай подходит. Случай 2: Две равные стороны по 20 см. Длины сторон: 20 см, 20 см, 14 см. Проверим неравенство треугольника: $20 + 20 > 14 \Rightarrow 40 > 14$ (Верно) $20 + 14 > 20 \Rightarrow 34 > 20$ (Верно) Этот случай также подходит. Итак, третья сторона может быть 14 см или 20 см. **Ответ: 14 см или 20 см.** 2. Дано: $EK = FK$, $EC = FC$. Нужно доказать, что $\angle EMK = \angle FMK$. Рассмотрим треугольники $\triangle EKC$ и $\triangle FKC$. 1. $EK = FK$ (дано) 2. $EC = FC$ (дано) 3. $KC$ — общая сторона. По трем сторонам (III признак равенства треугольников), $\triangle EKC = \triangle FKC$. Из равенства треугольников следует, что соответствующие углы равны, значит, $\angle EKC = \angle FKC$. Рассмотрим треугольники $\triangle EKM$ и $\triangle FKM$. 1. $EK = FK$ (дано) 2. $KM$ — общая сторона. 3. $\angle EKM = \angle FKC$ (как смежные углы к равным углам $\angle EKC$ и $\angle FKC$, если $M, K, C$ лежат на одной прямой. Если не на одной, то это вертикальные углы, или просто углы, лежащие между равными сторонами. Из рисунка видно, что $M, K, C$ лежат на одной прямой). **Допущение**: Точка $K$ лежит на отрезке $MC$. Тогда $\angle EKM$ и $\angle EKC$ - смежные углы, $\angle FKM$ и $\angle FKC$ - смежные углы. Но тогда $\angle EMK$ и $\angle FMK$ не являются углами в треугольниках $EKM$ и $FKM$, если $M, K, C$ на одной прямой. **Корректировка:** Рассмотрим треугольники $\triangle EMC$ и $\triangle FMC$. 1. $EC = FC$ (дано) 2. $MC$ — общая сторона. 3. $\angle ECM = \angle FCM$ (если бы было дано, но не дано). Вернемся к доказательству через $\triangle EKM$ и $\triangle FKM$. Из того, что $\triangle EKC = \triangle FKC$, мы получаем, что $KC$ является биссектрисой угла $\angle ECF$. Также из равенства $\triangle EKC = \triangle FKC$ следует, что $\angle KEC = \angle KFC$. Рассмотрим $\triangle EMK$ и $\triangle FMK$. 1. $EK = FK$ (дано) 2. $KM$ — общая сторона. 3. Углы $\angle EKM$ и $\angle FKM$ — это углы при вершине $K$. Мы доказали, что $\triangle EKC = \triangle FKC$. Это значит, что $\angle EKC = \angle FKC$. Эти углы являются частью углов $\angle EMK$ и $\angle FMK$ только если $M$ совпадает с $C$, что не так из рисунка. Возможно, имелось в виду, что $MK$ является биссектрисой $\angle EMF$. Если $K$ лежит на $MC$, то $KC$ и $KM$ — части одной прямой $MC$. У нас есть $EK=FK$ и $EC=FC$. Из этих данных мы можем доказать, что $\triangle ECF$ равнобедренный с основанием $EF$. И $\triangle EKC = \triangle FKC$ по трем сторонам $EK=FK$, $EC=FC$, $KC$ — общая. Значит $\angle ECK = \angle FCK$. Также, из равенства $\triangle EKC = \triangle FKC$ следует, что $\angle EKC = \angle FKC$. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle EMC$ и $\triangle FMC$. 1. $EC = FC$ (дано) 2. $MC$ — общая сторона. 3. $\angle ECM = \angle FCM$ (из того, что $\triangle EKC = \triangle FKC$, следует что $KC$ биссектриса $\angle ECF$. Так как $M$ лежит на прямой $KC$, то $MC$ тоже является биссектрисой $\angle ECF$). По двум сторонам и углу между ними (I признак равенства треугольников), $\triangle EMC = \triangle FMC$. Из равенства этих треугольников следует, что соответствующие углы равны, значит $\angle EMC = \angle FMC$. Нам нужно доказать $\angle EMK = \angle FMK$. Это те же самые углы, что и $\angle EMC = \angle FMC$, так как точка $K$ лежит на отрезке $MC$. **Ответ: $\angle EMK = \angle FMK$ следует из равенства треугольников $\triangle EMC$ и $\triangle FMC$ по первому признаку равенства (две стороны и угол между ними) после доказательства равенства $\triangle EKC$ и $\triangle FKC$.** 3. Это задание — повторение теории и выполнение номеров. Тут нет конкретного решения, которое я мог бы предоставить. Ты просто должен посмотреть теорию в учебнике и решить указанные номера. **Ответ: Выполните домашнее задание согласно указаниям.**