Выберите верное(-ые) утверждение(-ия): а) Всегда один из двух смежных углов острый, а другой тупой (если они не прямые). б) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой. в) Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам. г) В тупоугольном треугольнике все углы тупые.

1. Верные утверждения: а) Всегда один из двух смежных углов острый, а другой тупой (если они не прямые). б) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой. 2. При пересечении двух прямых, если один из углов равен $45^\circ$, то: * Угол, смежный с ним: $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$. * Угол, вертикальный к первому: $45^\circ$. * Угол, вертикальный ко второму: $135^\circ$. 3. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Если $\angle A = 40^\circ$ и $\angle B = 60^\circ$, то $\angle C = 180^\circ - (40^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$. **Ответ:** $\angle C = 80^\circ$ 4. Если прямые $b$ и $c$ параллельны, а угол, обозначенный как $123^\circ$, является внешним односторонним с углом $1$, то сумма этих углов равна $180^\circ$. $\angle 1 = 180^\circ - 123^\circ = 57^\circ$. **Ответ:** $\angle 1 = 57^\circ$ 5. На рисунке изображен четырехугольник $ABCD$. Если его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, и $AO=OC$, $BO=OD$, то равными треугольниками будут: * $\triangle AOB$ и $\triangle COD$ (по двум сторонам и углу между ними, так как $AO=OC$, $BO=OD$ и $\angle AOB = \angle COD$ как вертикальные). * $\triangle AOD$ и $\triangle COB$ (аналогично). 6. Верные утверждения: а) Основания любой трапеции параллельны. (Это определение трапеции) г) Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам. (Это свойство ромба, а также любого параллелограмма) 7. В параллелограмме противоположные стороны равны. Пусть одна сторона $a = 6$ см. Периметр параллелограмма $P = 2(a+b) = 36$ см. $2(6 + b) = 36$ $6 + b = 18$ $b = 18 - 6$ $b = 12$ см. Остальные стороны параллелограмма равны $6$ см (противоположная первой) и $12$ см (две другие стороны). **Ответ:** $6$ см, $12$ см, $12$ см. 8. Параллелограммом является четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны и равны, а также противоположные углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Рассмотрим первый четырехугольник: Углы $76^\circ$ и $106^\circ$ прилежат к одной стороне. $76^\circ + 106^\circ = 182^\circ$. Это не $180^\circ$, значит, этот четырехугольник не параллелограмм. Рассмотрим второй четырехугольник: Углы $76^\circ$ и $104^\circ$ прилежат к одной стороне. $76^\circ + 104^\circ = 180^\circ$. Стороны $AB$ и $CD$ равны $5$, а $BC$ и $AD$ не даны, но углы прилежащие к одной стороне $76^\circ+104^\circ=180^\circ$ означают, что это параллелограмм, так как в параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Кроме того, противоположные углы равны ($76^\circ$ напротив $76^\circ$, $104^\circ$ напротив $104^\circ$), и противоположные стороны равны ($5$ напротив $5$). **Ответ:** Второй четырехугольник является параллелограммом, так как сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$, и противоположные стороны равны. 9. В ромбе $ABCD$ все стороны равны, а диагонали пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Также диагонали являются биссектрисами углов. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей. $\angle ACD = 70^\circ$. Так как $AC$ — диагональ ромба и биссектриса угла $BCD$, то $\angle BCD = 2 \cdot \angle ACD = 2 \cdot 70^\circ = 140^\circ$. В ромбе противоположные углы равны, значит $\angle BAD = \angle BCD = 140^\circ$. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$, значит $\angle ABC = \angle ADC = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$. Рассмотрим $\triangle BOD$. Это не совсем корректно, так как $\triangle BOD$ это просто диагональ $BD$. Скорее всего, имеется в виду $\triangle BOC$ или $\triangle AOB$. Предположим, что нужно найти углы $\triangle AOD$ или $\triangle BOC$. Пусть это будет $\triangle BOC$. В $\triangle BOC$: * $\angle BOC = 90^\circ$ (диагонали ромба пересекаются под прямым углом). * $\angle CBO$ — это половина угла $ABC$, так как $BD$ является биссектрисой угла $ABC$. $\angle CBO = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 40^\circ = 20^\circ$. * $\angle BCO$ — это половина угла $BCD$, так как $AC$ является биссектрисой угла $BCD$. $\angle BCO = \frac{1}{2} \angle BCD = \frac{1}{2} \cdot 140^\circ = 70^\circ$. Проверим сумму углов в $\triangle BOC$: $90^\circ + 20^\circ + 70^\circ = 180^\circ$. Если имеется в виду $\triangle AOD$: * $\angle AOD = 90^\circ$. * $\angle DAO = \angle BCO = 70^\circ$. * $\angle ADO = \angle CBO = 20^\circ$. **Допущение:** В задании имелся в виду треугольник, образованный диагональю и двумя сторонами, например, $\triangle BOC$. **Ответ:** Углы $\triangle BOC$: $\angle BOC = 90^\circ$, $\angle CBO = 20^\circ$, $\angle BCO = 70^\circ$.