Определите, при каких условиях отрезки $BC$ и $PC$ перпендикулярны, если дан $\triangle ABC$ и отрезок $PA$ перпендикулярен плоскости $\triangle ABC$.

Чтобы отрезки $BC$ и $PC$ были перпендикулярны, нужно, чтобы $BC$ было перпендикулярно плоскости, содержащей $P, A, C$. Мы знаем, что $PA$ перпендикулярен плоскости $ABC$. Это значит, что $PA$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, в том числе и $AC$. По теореме о трёх перпендикулярах, если прямая $BC$ в плоскости $ABC$ перпендикулярна проекции наклонной $PC$ на эту плоскость (а проекция это $AC$), то $BC$ перпендикулярна и самой наклонной $PC$. Значит, нам нужно найти условие, при котором $BC \perp AC$. Это происходит, когда угол $ACB$ равен $90^\circ$. Рассмотрим каждый пункт: а) $\angle ACB = 90^\circ$ Это условие подходит, так как $BC \perp AC$. б) $\angle ABC = 25^\circ$, $\angle BAC = 65^\circ$ Найдём $\angle ACB$: $$\angle ACB = 180^\circ - \angle ABC - \angle BAC = 180^\circ - 25^\circ - 65^\circ = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$$ Это условие также подходит. в) $\angle ABC = 45^\circ$, $\angle BAC = 55^\circ$ Найдём $\angle ACB$: $$\angle ACB = 180^\circ - \angle ABC - \angle BAC = 180^\circ - 45^\circ - 55^\circ = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$$ Угол $ACB$ не равен $90^\circ$, значит, это условие не подходит. г) $AC = BC$, $\angle BAC = 35^\circ$ Если $AC = BC$, то треугольник $ABC$ равнобедренный, и $\angle BAC = \angle ABC = 35^\circ$. Найдём $\angle ACB$: $$\angle ACB = 180^\circ - \angle BAC - \angle ABC = 180^\circ - 35^\circ - 35^\circ = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$$ Угол $ACB$ не равен $90^\circ$, значит, это условие не подходит. **Ответ:** Условия а) и б).