Объясните решение иррационального уравнения $\sqrt{x^2 + x + 1} = x - 4$

Давай разберём решение этого иррационального уравнения: Иррациональное уравнение — это уравнение, в котором переменная находится под знаком корня. Задано уравнение: $$\sqrt{x^2 + x + 1} = x - 4$$ Чтобы решить такое уравнение, нужно избавиться от корня. Для этого обе части уравнения возводят в квадрат. Но это может привести к появлению посторонних корней. Чтобы этого не произошло, нужно учесть два важных условия: 1. **Подкоренное выражение должно быть неотрицательным.** То есть, $x^2 + x + 1 \geq 0$. В данном случае выражение $x^2+x+1$ всегда больше нуля, потому что дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 < 0$, а коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$. Значит, эта парабола направлена ветвями вверх и не пересекает ось $Ox$, поэтому $x^2+x+1$ всегда положительно. Это условие выполняется при любых значениях $x$. 2. **Правая часть уравнения должна быть неотрицательной.** Корень всегда даёт неотрицательное значение, поэтому правая часть $x-4$ тоже должна быть неотрицательной: $x - 4 \geq 0$. Итак, уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} x^2 + x + 1 = (x - 4)^2 \\ x - 4 \geq 0 \end{cases} $$ Теперь решим первое уравнение системы: $$ x^2 + x + 1 = (x - 4)^2 $$ Раскроем скобки в правой части, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $$ (x - 4)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 - 8x + 16 $$ Подставим это обратно в уравнение: $$ x^2 + x + 1 = x^2 - 8x + 16 $$ Перенесём все с $x$ в одну сторону, а числа в другую: $$ x + 8x = 16 - 1 $$ $$ 9x = 15 $$ Разделим обе части на 9: $$ x = \frac{15}{9} $$ Сократим дробь на 3: $$ x = \frac{5}{3} $$ Теперь нужно проверить, удовлетворяет ли этот корень второму условию системы: $x - 4 \geq 0$. Подставим найденное значение $x = \frac{5}{3}$ в неравенство: $$ \frac{5}{3} - 4 \geq 0 $$ Чтобы вычесть, приведём 4 к дроби со знаменателем 3: $$ 4 = \frac{4 \cdot 3}{3} = \frac{12}{3} $$ Теперь выполним вычитание: $$ \frac{5}{3} - \frac{12}{3} = \frac{5 - 12}{3} = \frac{-7}{3} $$ Итак, получаем: $$ \frac{-7}{3} \geq 0 $$ Это неравенство неверно, потому что $-\frac{7}{3}$ — это отрицательное число, а оно не может быть больше или равно нулю. Значит, корень $x = \frac{5}{3}$ не удовлетворяет условию $x - 4 \geq 0$. **Ответ: Данное уравнение не имеет корней.**