Вычислите определитель матрицы: [[1, 3, 5], [2, 4, -2], [-4, -1, 3]]

1. Вопрос для проверки уровня «ЗНАТЬ» – 1 балл: Векторы. Основные понятия и определения. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов. Координатное представление векторов. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. 2. Вопрос для проверки уровня «УМЕТЬ» – 1 балл: Вычислите определитель $$ \begin{vmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & -2 \\ -4 & -1 & 3 \end{vmatrix} $$ Для вычисления определителя матрицы $3 \times 3$ используем правило Саррюса: $$ \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) $$ Применим это правило к нашей матрице: $$ \begin{vmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & -2 \\ -4 & -1 & 3 \end{vmatrix} = 1 \cdot (4 \cdot 3 - (-2) \cdot (-1)) - 3 \cdot (2 \cdot 3 - (-2) \cdot (-4)) + 5 \cdot (2 \cdot (-1) - 4 \cdot (-4)) $$ $$ = 1 \cdot (12 - 2) - 3 \cdot (6 - 8) + 5 \cdot (-2 + 16) $$ $$ = 1 \cdot 10 - 3 \cdot (-2) + 5 \cdot 14 $$ $$ = 10 + 6 + 70 $$ $$ = 86 $$ **Ответ: 86** 3. Вопрос для проверки уровня «УМЕТЬ» – 1 балл: Найдите значение предела $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - 5x + 6}$. Сначала подставим $x = 2$ в числитель и знаменатель: Числитель: $2^2 - 4 \cdot 2 + 4 = 4 - 8 + 4 = 0$ Знаменатель: $2^2 - 5 \cdot 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$ Мы получили неопределенность вида $\frac{0}{0}$, поэтому можем использовать правило Лопиталя или разложить числитель и знаменатель на множители. Разложим числитель и знаменатель на множители: Числитель: $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$ Знаменатель: $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$ Теперь перепишем предел: $$ \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)^2}{(x-2)(x-3)} = \lim_{x \to 2} \frac{x-2}{x-3} $$ Теперь подставим $x = 2$: $$ \frac{2-2}{2-3} = \frac{0}{-1} = 0 $$ **Ответ: 0** 4. Вопрос для проверки уровня «УМЕТЬ» – 1 балл: Найдите производную функции $y = 2x^3 + \frac{1}{4x^4} + 10\sqrt{x^2} - 3\cos{5x}$. Перепишем функцию, чтобы было удобнее брать производную: $$ y = 2x^3 + \frac{1}{4}x^{-4} + 10|x| - 3\cos{5x} $$ Предположим, что $x>0$, тогда $|x|=x$. $$ y = 2x^3 + \frac{1}{4}x^{-4} + 10x - 3\cos{5x} $$ Найдем производную каждого члена: 1. Производная от $2x^3$: $(2x^3)' = 2 \cdot 3x^{3-1} = 6x^2$ 2. Производная от $\frac{1}{4}x^{-4}$: $(\frac{1}{4}x^{-4})' = \frac{1}{4} \cdot (-4)x^{-4-1} = -x^{-5} = -\frac{1}{x^5}$ 3. Производная от $10x$: $(10x)' = 10$ 4. Производная от $-3\cos{5x}$: $(-3\cos{5x})' = -3 \cdot (-\sin{5x}) \cdot (5x)' = -3 \cdot (-\sin{5x}) \cdot 5 = 15\sin{5x}$ Собираем все части вместе: $$ y' = 6x^2 - \frac{1}{x^5} + 10 + 15\sin{5x} $$ **Ответ:** $y' = 6x^2 - \frac{1}{x^5} + 10 + 15\sin{5x}$ 5. Вопрос для проверки уровня «ВЛАДЕТЬ» – 1 балл: Материальная точка движется по закону $s = 4t^3 + 5\cos^2{2t}$. Найдите ее скорость и ускорение в момент времени $t = \frac{\pi}{2}$. Сначала найдем скорость $v(t)$, которая является первой производной от $s(t)$ по $t$: $$ v(t) = s'(t) = (4t^3 + 5\cos^2{2t})' $$ $$ v(t) = (4t^3)' + (5\cos^2{2t})' $$ $$ (4t^3)' = 4 \cdot 3t^2 = 12t^2 $$ $$ (5\cos^2{2t})' = 5 \cdot 2\cos{2t} \cdot (-\sin{2t}) \cdot (2t)' = 10\cos{2t} \cdot (-\sin{2t}) \cdot 2 = -20\cos{2t}\sin{2t} $$ Используем формулу двойного угла $\sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x}$, тогда $2\sin{2t}\cos{2t} = \sin{4t}$. Значит, $-20\cos{2t}\sin{2t} = -10(2\cos{2t}\sin{2t}) = -10\sin{4t}$. $$ v(t) = 12t^2 - 10\sin{4t} $$ Теперь найдем значение скорости в момент $t = \frac{\pi}{2}$: $$ v\left(\frac{\pi}{2}\right) = 12\left(\frac{\pi}{2}\right)^2 - 10\sin\left(4 \cdot \frac{\pi}{2}\right) $$ $$ v\left(\frac{\pi}{2}\right) = 12 \cdot \frac{\pi^2}{4} - 10\sin(2\pi) $$ Так как $\sin(2\pi) = 0$: $$ v\left(\frac{\pi}{2}\right) = 3\pi^2 - 10 \cdot 0 = 3\pi^2 $$ Теперь найдем ускорение $a(t)$, которое является первой производной от $v(t)$ (или второй производной от $s(t)$) по $t$: $$ a(t) = v'(t) = (12t^2 - 10\sin{4t})' $$ $$ a(t) = (12t^2)' - (10\sin{4t})' $$ $$ (12t^2)' = 12 \cdot 2t = 24t $$ $$ (10\sin{4t})' = 10 \cdot \cos{4t} \cdot (4t)' = 10 \cdot \cos{4t} \cdot 4 = 40\cos{4t} $$ $$ a(t) = 24t - 40\cos{4t} $$ Теперь найдем значение ускорения в момент $t = \frac{\pi}{2}$: $$ a\left(\frac{\pi}{2}\right) = 24\left(\frac{\pi}{2}\right) - 40\cos\left(4 \cdot \frac{\pi}{2}\right) $$ $$ a\left(\frac{\pi}{2}\right) = 12\pi - 40\cos(2\pi) $$ Так как $\cos(2\pi) = 1$: $$ a\left(\frac{\pi}{2}\right) = 12\pi - 40 \cdot 1 = 12\pi - 40 $$ **Ответ: скорость $3\pi^2$, ускорение $12\pi - 40$**