Заполните пропуски и допишите утверждение: Проекцией точки на плоскость называется основание _____, проведенного из этой точки к плоскости, если точка _____, и сама точка, если она _____.

1. Проекцией точки на плоскость называется основание $\underline{\text{перпендикуляра}}$, проведенного из этой точки к плоскости, если точка $\underline{\text{не лежит в этой плоскости}}$, и сама точка, если она $\underline{\text{лежит в этой плоскости}}$. 2. Угол между прямой и плоскостью является $\underline{\text{углом между прямой и её проекцией на эту плоскость}}$, которые данная прямая образует с прямыми, проведенными в плоскости через точку пересечения этой прямой с плоскостью. 3. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите углы: * Угол между $DC_1$ и $(ABD)$: Проекция $DC_1$ на плоскость $(ABD)$ — это $DC$. Тогда угол между $DC_1$ и $(ABD)$ — это угол $\angle CDC_1$. Так как куб, то $CC_1 \perp DC$ и $CDD_1C_1$ — квадрат. Значит, $\triangle CDC_1$ — прямоугольный, $CC_1 = DC$. Тогда $\angle CDC_1 = 45^\circ$. * Угол между $A_1C_1$ и $(BB_1C)$: Проекция $A_1C_1$ на плоскость $(BB_1C)$ — это $B_1C_1$. Тогда угол между $A_1C_1$ и $(BB_1C)$ — это угол $\angle A_1C_1B_1$. Так как куб, то $A_1B_1 \perp B_1C_1$ и $A_1B_1C_1D_1$ — квадрат. Значит, $\triangle A_1B_1C_1$ — прямоугольный, $A_1B_1 = B_1C_1$. Тогда $\angle A_1C_1B_1 = 45^\circ$. * Угол между $C_1D$ и $(ACC_1)$: Плоскость $(ACC_1)$ содержит диагональ $AC$. Проекция $C_1D$ на плоскость $(ACC_1)$ — это $C_1O_1$, где $O_1$ — центр грани $A_1B_1C_1D_1$ или $C_1A_1$ — диагональ. Проще найти угол между $C_1D$ и плоскостью $(ACC_1)$. Рассмотрим проекцию точки $D$ на плоскость $(ACC_1)$. Это будет точка $O$, центр основания $ABCD$. Тогда проекция $C_1D$ на плоскость $(ACC_1)$ — это $C_1O$. Тогда искомый угол — $\angle DC_1O$. Пусть ребро куба $a$. Тогда $DO = \frac{1}{2}DB = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. $CC_1 = a$. $C_1D = a\sqrt{2}$. В прямоугольном треугольнике $DOC$ $C_1O = \sqrt{CD^2 + DO^2} = \sqrt{a^2 + (a\sqrt{2}/2)^2} = \sqrt{a^2 + a^2/2} = \sqrt{3a^2/2} = a\sqrt{3/2}$. $DO$ перпендикулярна $AC$. $DO$ также перпендикулярна $CC_1$. Значит, $DO$ перпендикулярна плоскости $(ACC_1)$. Тогда угол между $C_1D$ и плоскостью $(ACC_1)$ — это угол $\angle DC_1O$. В прямоугольном треугольнике $C_1OD$ (прямой угол $O$): $\sin(\angle DC_1O) = \frac{DO}{C_1D} = \frac{a\sqrt{2}/2}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$. Значит, $\angle DC_1O = 30^\circ$. * Угол между $BO$ и $A_1(AA_1C)$: Плоскость $A_1(AA_1C)$ — это плоскость $(ACC_1A_1)$. Точка $O$ — центр грани $ABCD$. Проекция $O$ на плоскость $(ACC_1A_1)$ — это $O$. (так как $O$ лежит в плоскости $ACC_1A_1$) Проекция $B$ на плоскость $(ACC_1A_1)$ — это $O$. (так как $BO \perp AC$ и $BO \perp AA_1$, значит $BO \perp (ACC_1A_1)$). Следовательно, проекция $BO$ на плоскость $(ACC_1A_1)$ — это точка $O$. Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между ними равен $90^\circ$. $BO$ перпендикулярна $AC$ (диагонали квадрата перпендикулярны). $BO$ также перпендикулярна $AA_1$ (так как $AA_1 \perp ABCD$). Значит, $BO$ перпендикулярна плоскости $(ACC_1A_1)$. Тогда угол между $BO$ и $A_1(AA_1C)$ равен $90^\circ$. **Ответ:** $45^\circ, 45^\circ, 30^\circ, 90^\circ$. Это соответствует варианту 2. 4. Точка $O$ — центр квадрата $ABCD$, $OK \perp (ACD)$ и $OK = 2\sqrt{2}$, $AD = 4$ см. Найдите угол между $DK$ и плоскостью $(ACD)$. Плоскость $(ACD)$ — это плоскость квадрата $ABCD$. Так как $OK \perp (ACD)$, то $OK$ — перпендикуляр к этой плоскости. Проекция точки $K$ на плоскость $(ACD)$ — это точка $O$. Проекция отрезка $DK$ на плоскость $(ACD)$ — это отрезок $DO$. Искомый угол — это угол между $DK$ и $DO$, то есть $\angle KDO$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $KOD$ (прямой угол $O$, так как $OK \perp (ACD)$). Нам дано: $OK = 2\sqrt{2}$ см. $AD = 4$ см (сторона квадрата $ABCD$). Найдем $DO$. $DO$ — это половина диагонали квадрата $ABCD$. Диагональ $BD = AD \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см. $DO = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} (4\sqrt{2}) = 2\sqrt{2}$ см. Теперь у нас есть катеты прямоугольного треугольника $KOD$: $OK = 2\sqrt{2}$ и $DO = 2\sqrt{2}$. Так как катеты равны, то треугольник $KOD$ — равнобедренный прямоугольный треугольник. Значит, углы при гипотенузе равны $45^\circ$. Следовательно, $\angle KDO = 45^\circ$. **Ответ:** $45^\circ$. Это соответствует варианту 3.