1. Диагонали квадрата $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Найдите угол между векторами:
a) $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$
Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ — это угол $BAD$ квадрата $ABCD$, который равен $90^\circ$.
b) $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$
Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ — это угол $BAC$. Поскольку $AC$ — это диагональ квадрата, она делит угол $BAD$ пополам. Следовательно, угол $BAC = 90^\circ / 2 = 45^\circ$.
c) $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$
Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом. Угол между векторами $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$ — это угол $AOB$, который равен $90^\circ$.
d) $\vec{OA}$ и $\vec{OC}$
Векторы $\vec{OA}$ и $\vec{OC}$ направлены в противоположные стороны, так как $O$ — это середина диагонали $AC$. Угол между противоположно направленными векторами равен $180^\circ$.
e) $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$
Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом. Угол между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ равен $90^\circ$.
f) $\vec{AB}$ и $\vec{DB}$
Для того чтобы найти угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{DB}$, рассмотрим треугольник $ABD$. Это прямоугольный треугольник, так как $ABCD$ — квадрат. Угол $BAD = 90^\circ$. Поскольку $AD = AB$, треугольник $ABD$ является равнобедренным прямоугольным треугольником. Угол $ABD = ADB = (180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$. Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{DB}$ — это угол $ABD$. Следовательно, он равен $45^\circ$.
ж) $\vec{AD}$ и $\vec{DB}$
Угол между векторами $\vec{AD}$ и $\vec{DB}$ — это угол $ADB$. Как показано выше, в равнобедренном прямоугольном треугольнике $ABD$, угол $ADB = 45^\circ$.
з) $\vec{AO}$ и $\vec{DC}$
Для того чтобы найти угол между векторами $\vec{AO}$ и $\vec{DC}$, заметим, что $\vec{DC}$ параллелен $\vec{AB}$. Поэтому угол между $\vec{AO}$ и $\vec{DC}$ будет равен углу между $\vec{AO}$ и $\vec{AB}$. Рассмотрим треугольник $AOB$. Это равнобедренный прямоугольный треугольник, так как $AO=OB$ (половины равных диагоналей) и $\angle AOB = 90^\circ$. Углы при основании $AB$ равны: $\angle OAB = \angle OBA = (180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$. Угол $\angle OAB$ — это угол между вектором $\vec{AO}$ и вектором $\vec{AB}$. Следовательно, угол между $\vec{AO}$ и $\vec{DC}$ равен $45^\circ$.
2. Диагонали ромба $ABCD$ пересекаются в точке $O$, и диагональ $BD$ равна стороне ромба. Найдите угол между векторами:
a) $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$
Допущение: Так как диагональ $BD$ равна стороне ромба, то треугольник $ABD$ является равносторонним. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ — это угол $BAD$ ромба. В равностороннем треугольнике $ABD$, угол $BAD = 60^\circ$.
b) $\vec{BA}$ и $\vec{AD}$
Вектор $\vec{BA}$ направлен в противоположную сторону к $\vec{AB}$. Поэтому, чтобы найти угол между $\vec{BA}$ и $\vec{AD}$, мы можем рассмотреть угол, смежный с углом между $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$. Если угол между $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ равен $60^\circ$, то угол между $\vec{BA}$ и $\vec{AD}$ равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
c) $\vec{BA}$ и $\vec{BD}$
Векторы $\vec{BA}$ и $\vec{BD}$ являются сторонами равностороннего треугольника $ABD$. Угол между ними — это угол $ABD$, который равен $60^\circ$.
d) $\vec{DA}$ и $\vec{AD}$
Векторы $\vec{DA}$ и $\vec{AD}$ направлены в противоположные стороны. Угол между ними равен $180^\circ$.
e) $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом, то есть $\angle AOB = 90^\circ$. Угол между векторами $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$ равен $90^\circ$.
f) $\vec{OC}$ и $\vec{OD}$
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом, то есть $\angle COD = 90^\circ$. Угол между векторами $\vec{OC}$ и $\vec{OD}$ равен $90^\circ$.
