На рисунке 2 $DE = EF$ и $DM = MF$. $MK$ — биссектриса треугольника $MEF$. Найдите угол $DMK$.

1. Из условия $DM = MF$, значит $M$ — это середина отрезка $DF$. Это означает, что $EM$ — медиана треугольника $DEF$. 2. Также дано, что $DE = EF$. Это значит, что треугольник $DEF$ — равнобедренный с основанием $DF$. 3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также биссектрисой и высотой. Значит, $EM$ — биссектриса угла $DEF$. 4. Из условия также дано, что $MK$ — биссектриса треугольника $MEF$. Это означает, что $MK$ делит угол $MEF$ пополам. Но в равнобедренном треугольнике $DEF$, $EM$ является биссектрисой угла $DEF$. 5. **Допущение**: Так как $MK$ — биссектриса треугольника $MEF$, это, скорее всего, имеется в виду, что $MK$ является биссектрисой угла $MEF$. В таком случае, если $EM$ — биссектриса $\angle DEF$ и $MK$ — биссектриса $\angle MEF$, то угол $DMK$ будет равен 0 градусам, если $K$ лежит на $EM$, что не соответствует рисунку. Скорее всего, в условии есть опечатка или неточность. Предположим, что $MK$ — это биссектриса угла $KMF$ или другого угла, связанного с точкой $K$. Если же $MK$ — биссектриса $\angle EMF$, то тогда $\angle EMK = \angle KMF$. Давайте перечитаем условие: "$MK$ — биссектриса треугольника $MEF$". Такое определение биссектрисы некорректно. Биссектриса может быть только у угла. **Допущение**: Предположим, что $MK$ — биссектриса угла $\angle EMF$. В равнобедренном треугольнике $DEF$ ($DE=EF$), медиана $EM$ является также биссектрисой угла $DEF$. Это значит $\angle DEM = \angle FEM$. Учитывая, что $DE=EF$ и $DM=MF$, треугольник $DEF$ — равнобедренный, и $EM$ — его медиана, а значит и высота, и биссектриса. Следовательно, $\angle EMD = 90^\circ$. Если $\angle EMD = 90^\circ$, то $\angle KMD$ должен быть частью $\angle EMD$ или смежным с ним. Но на рисунке точка $K$ находится на стороне $EF$. Если $MK$ — биссектриса угла $\angle EMF$ и $\triangle DEF$ — равнобедренный с $DE=EF$ и $DM=MF$, то $EM \perp DF$. Значит $\angle EMF = 90^\circ$. Тогда $\angle KMF = \frac{1}{2} \angle EMF = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$. Угол $DMK$ состоит из $\angle DME$ и $\angle EMK$. $\angle DME = 90^\circ$ (так как $EM$ — высота). $\angle EMK = \angle KMF = 45^\circ$. Тогда $\angle DMK = \angle DME + \angle EMK = 90^\circ + 45^\circ = 135^\circ$. **Ответ:** $\angle DMK = 135^\circ$