1. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если его катеты равны 25 см и 60 см.

1. Чтобы найти гипотенузу прямоугольного треугольника, используем теорему Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. $$c^2 = a^2 + b^2$$ $$c^2 = 25^2 + 60^2$$ $$c^2 = 625 + 3600$$ $$c^2 = 4225$$ $$c = \sqrt{4225}$$ $$c = 65\text{ см}$$ **Ответ: 65 см** 2. У ромба все стороны равны. Если сторона ромба равна 10 см, то его периметр равен $4 \times 10 = 40$ см. Площадь ромба можно найти по формуле: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$, где $d_1$ и $d_2$ — это диагонали. Нам дана одна диагональ $d_1 = 16$ см. Пусть вторая диагональ будет $d_2$. Также, диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. Катеты этого треугольника будут $d_1/2$ и $d_2/2$, а гипотенуза — сторона ромба. $$(d_1/2)^2 + (d_2/2)^2 = a^2$$ $$(16/2)^2 + (d_2/2)^2 = 10^2$$ $$8^2 + (d_2/2)^2 = 100$$ $$64 + (d_2/2)^2 = 100$$ $$(d_2/2)^2 = 100 - 64$$ $$(d_2/2)^2 = 36$$ $$d_2/2 = \sqrt{36}$$ $$d_2/2 = 6$$ $$d_2 = 12\text{ см}$$ Теперь найдем площадь: $$S = \frac{1}{2} \times 16 \times 12 = 8 \times 12 = 96\text{ см}^2$$ **Ответ: 12 см, $96\text{ см}^2$** 3. В треугольнике ABC угол B = 45°. Высота AN перпендикулярна BC, значит, треугольник ABN — прямоугольный. В прямоугольном треугольнике ABN угол ABN = 45°, значит, угол BAN = $90° - 45° = 45°$. Таким образом, треугольник ABN — равнобедренный, и $AN = BN$. Дано, что $BN = 8$ см, значит $AN = 8$ см. Площадь треугольника ABC можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \times AC \times h_b$, где $h_b$ — высота, опущенная на сторону AC. Но у нас есть высота AN, опущенная на сторону BC. Площадь треугольника ABC также можно найти по формуле: $S = \frac{1}{2} \times BC \times AN$. Нам дано, что $NC = 6$ см. Тогда $BC = BN + NC = 8 + 6 = 14$ см. $$S = \frac{1}{2} \times 14 \times 8 = 7 \times 8 = 56\text{ см}^2$$ Теперь найдем сторону AC. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора в треугольнике ANC. Треугольник ANC — прямоугольный, так как AN — высота. $$AC^2 = AN^2 + NC^2$$ $$AC^2 = 8^2 + 6^2$$ $$AC^2 = 64 + 36$$ $$AC^2 = 100$$ $$AC = \sqrt{100} = 10\text{ см}$$ **Ответ: $56\text{ см}^2$, 10 см** 4. В прямоугольной трапеции ABCD диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD, что означает, что угол ACD = 90°. Диагональ AC составляет угол 60° с основанием AD. Значит, угол CAD = 60°. Так как AD — основание, то AD параллельно BC. Угол CAD и угол ACB являются накрест лежащими углами при параллельных прямых AD и BC и секущей AC. Значит, угол ACB = 60°. В прямоугольном треугольнике ACD: Угол ADC = 90° - 60° = 30°. Против угла в 30° лежит катет CD, который равен половине гипотенузы AC. Пусть $AC = x$. Тогда $CD = x/2$. Также нам дано $AD = 24$ см. Используем тангенс угла CAD: $$\tan(CAD) = \frac{CD}{AD}$$ $$\tan(60°) = \frac{CD}{24}$$ $$\sqrt{3} = \frac{CD}{24}$$ $$CD = 24\sqrt{3}\text{ см}$$ Теперь найдем AC, используя косинус угла CAD: $$\cos(CAD) = \frac{AD}{AC}$$ $$\cos(60°) = \frac{24}{AC}$$ $$\frac{1}{2} = \frac{24}{AC}$$ $$AC = 48\text{ см}$$ Высота трапеции h = AB. В прямоугольном треугольнике ABD (если AB перпендикулярно AD), или если это прямоугольная трапеция, то AB перпендикулярна AD и BC. В прямоугольном треугольнике ACD, высота из C на AD это сама CD, если A и D находятся на одной прямой. Но это не так, CD - это боковая сторона, а не высота. Высота трапеции - это расстояние между параллельными основаниями. Пусть $h$ - это высота трапеции, проведенная из C к AD. Обозначим эту точку E. Тогда $CE$ будет высотой. Если трапеция прямоугольная, то $AB$ является высотой. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC (если AB - высота). Но AC - это диагональ. Угол ACB = 60. Вернемся к определению прямоугольной трапеции: одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. Пусть это будет AB. Тогда $AB \perp AD$ и $AB \perp BC$. AB является высотой трапеции. В прямоугольном треугольнике ABC: угол ACB = 60°. $AC = 48$ см. $AB = AC \times \sin(ACB) = 48 \times \sin(60°) = 48 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3}\text{ см}$. Это высота трапеции. $BC = AC \times \cos(ACB) = 48 \times \cos(60°) = 48 \times \frac{1}{2} = 24\text{ см}$. Теперь найдем площадь трапеции ABCD: $S = \frac{AD+BC}{2} \times AB$. $S = \frac{24+24}{2} \times 24\sqrt{3} = \frac{48}{2} \times 24\sqrt{3} = 24 \times 24\sqrt{3} = 576\sqrt{3}\text{ см}^2$. **Ответ: $576\sqrt{3}\text{ см}^2$** 5. Площадь ромба можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$. Периметр ромба равен $P = 4a$, где $a$ — сторона ромба. Даны диагонали ромба $d_1 = 12$ см и $d_2 = 16$ см. Площадь ромба: $$S = \frac{1}{2} \times 12 \times 16 = 6 \times 16 = 96\text{ см}^2$$ Чтобы найти периметр, нужно найти сторону ромба. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. Катеты этого треугольника будут $d_1/2 = 12/2 = 6$ см и $d_2/2 = 16/2 = 8$ см. Гипотенуза — сторона ромба $a$. Используем теорему Пифагора: $$a^2 = (d_1/2)^2 + (d_2/2)^2$$ $$a^2 = 6^2 + 8^2$$ $$a^2 = 36 + 64$$ $$a^2 = 100$$ $$a = \sqrt{100} = 10\text{ см}$$ Периметр ромба: $$P = 4a = 4 \times 10 = 40\text{ см}$$ **Ответ: $96\text{ см}^2$, 40 см**