На рисунке 20 $BNDM$ — параллелограмм, $BO = DO$. Докажите, что $ABCD$ — параллелограмм.

У нас есть следующие данные: * $BNDM$ — параллелограмм * $BO = DO$ Нам нужно доказать, что $ABCD$ — параллелограмм. ### Доказательство 1. Так как $BNDM$ — параллелограмм, его диагонали делятся точкой пересечения пополам. Значит, точка $O$ является серединой диагоналей $BD$ и $MN$. Отсюда следует, что $BO = OD$ и $MO = ON$. Это нам уже дано: $BO=DO$. 2. По условию $BO = DO$. Это означает, что точка $O$ является серединой диагонали $BD$. 3. Рассмотрим четырехугольник $ABCD$. Если его диагонали $AC$ и $BD$ делятся точкой пересечения пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом. 4. Нам известно, что $O$ — середина $BD$. Для того чтобы $ABCD$ был параллелограммом, нужно, чтобы $O$ также была серединой $AC$, то есть $AO = OC$. 5. Из условия, что $BNDM$ — параллелограмм, следует, что $BN \parallel MD$ и $BM \parallel ND$. 6. Также из свойств параллелограмма $BNDM$ мы знаем, что $BN = MD$. 7. Рассмотрим треугольники $BOM$ и $DON$. * $BO = DO$ (дано) * $MO = ON$ (так как $BNDM$ — параллелограмм, его диагонали делятся точкой пересечения пополам) * $\angle BOM = \angle DON$ (как вертикальные углы) По первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними), $\triangle BOM = \triangle DON$. Из равенства треугольников следует, что $BM = DN$. 8. Рассмотрим треугольники $AOB$ и $COD$. * $BO = DO$ (дано) * Поскольку $BNDM$ — параллелограмм, $ND \parallel BM$. Из этого следует, что $AB parallel CD$ (так как $A, B, N$ и $C, D, M$ лежат на прямых). * $\angle ABO = \angle CDO$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $BD$). * $\angle BAO = \angle DCO$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$). По второму признаку равенства треугольников (сторона и два прилежащих угла), $\triangle AOB = \triangle COD$. 9. Из равенства $\triangle AOB = \triangle COD$ следует, что $AO = CO$. Это означает, что точка $O$ является серединой диагонали $AC$. 10. Поскольку диагонали $AC$ и $BD$ четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$ и делятся ею пополам ($BO = DO$ и $AO = CO$), то $ABCD$ является параллелограммом. **Что и требовалось доказать.**