На какое расстояние сместится плот, если два мальчика разной массы, стоящие на противоположных концах плота, одновременно начинают двигаться навстречу друг другу с одинаковой скоростью и останавливаются при встрече. Известны масса плота $m_1=400$ кг, длина плота $l=10$ м, массы мальчиков $m_2=60$ кг и $m_3=40$ кг.

Давай разберем эту задачу. Когда мальчики двигаются по плоту, плот будет двигаться в противоположную сторону, чтобы центр масс всей системы (плот + мальчики) оставался на месте. Это потому, что внешних сил по горизонтали нет. Обозначим: $m_1 = 400 \text{ кг}$ — масса плота $m_2 = 60 \text{ кг}$ — масса первого мальчика $m_3 = 40 \text{ кг}$ — масса второго мальчика $L = 10 \text{ м}$ — длина плота Пусть начало координат находится в начальном положении центра масс системы. Тогда начальный импульс равен нулю. После движения мальчиков и плота, конечный импульс также должен быть равен нулю. Пусть плот сместился на расстояние $x$ в одну сторону. Тогда мальчики относительно земли сместились на $L - x$ (если они движутся навстречу друг другу). По закону сохранения импульса, сумма произведений масс на их смещения должна быть равна нулю. Мы можем взять координату центра масс. Если мальчик $m_2$ был в точке $0$ и двигался к $L$, а мальчик $m_3$ был в точке $L$ и двигался к $0$. После встречи они оба окажутся в одной точке. Центр масс системы до движения: $x_{цм, нач} = \frac{m_2 \cdot 0 + m_3 \cdot L + m_1 \cdot \frac{L}{2}}{m_1 + m_2 + m_3}$ После того как мальчики встретились, они находятся в центре плота, но плот при этом сместился на $x$. Представим, что мальчик $m_2$ был на одном конце плота, а $m_3$ на другом. Расстояние между ними $L$. Пусть мальчик $m_2$ движется вправо, а $m_3$ влево. Плот сместится влево на $x$. Смещение центра масс плота: $x_{\text{плота}} = -x$ Смещение мальчика $m_2$ относительно земли: $\frac{L}{2} - x$ Смещение мальчика $m_3$ относительно земли: $-\frac{L}{2} - x$ Используем формулу для смещения плота при движении людей по нему: $x = \frac{m_2 (L/2) + m_3 (-L/2)}{m_1 + m_2 + m_3}$ — это если мальчики меняются местами. В нашей задаче мальчики движутся навстречу друг другу и встречаются посередине плота. Если считать, что мальчик $m_2$ находится на одном конце, а $m_3$ на другом, и они перемещаются к центру плота. Расстояние, на которое сместился центр масс мальчиков относительно плота: $S = m_2 \cdot \frac{L}{2} + m_3 \cdot \frac{L}{2} = (m_2 + m_3) \frac{L}{2}$ Тогда смещение плота: $\Delta x = \frac{ (m_2+m_3) \cdot (L/2) - m_2 \cdot 0 - m_3 \cdot L }{m_1 + m_2 + m_3}$ (эта формула не совсем подходит) Воспользуемся принципом, что центр масс системы не меняет своего положения, если нет внешних сил. Пусть начальное положение левого конца плота — $0$. Тогда координаты: Мальчик 1 ($m_2$): $x_2 = 0$ Мальчик 2 ($m_3$): $x_3 = L$ Центр плота: $x_1 = L/2$ Начальная координата центра масс системы: $$X_{цм, нач} = \frac{m_2 \cdot 0 + m_3 \cdot L + m_1 \cdot \frac{L}{2}}{m_1 + m_2 + m_3}$$ Когда мальчики встречаются в центре плота, плот смещается на расстояние $\Delta x$. Тогда новые координаты (относительно начального положения левого конца плота): Мальчики вместе: $x_2' = x_3' = \frac{L}{2} + \Delta x$ Центр плота: $x_1' = \frac{L}{2} + \Delta x$ Конечная координата центра масс системы: $$X_{цм, кон} = \frac{(m_2 + m_3) \cdot (\frac{L}{2} + \Delta x) + m_1 \cdot (\frac{L}{2} + \Delta x)}{m_1 + m_2 + m_3}$$ Так как $X_{цм, нач} = X_{цм, кон}$, получаем: $$\frac{m_3 \cdot L + m_1 \cdot \frac{L}{2}}{m_1 + m_2 + m_3} = \frac{(m_2 + m_3 + m_1) \cdot (\frac{L}{2} + \Delta x)}{m_1 + m_2 + m_3}$$ $$m_3 \cdot L + m_1 \cdot \frac{L}{2} = (m_1 + m_2 + m_3) \cdot (\frac{L}{2} + \Delta x)$$ Разделим обе части на $m_1 + m_2 + m_3$: (тут ошибка в логике, так как центр масс плота изначально был L/2, но он сам смещается. Удобнее взять отсчет от начального положения центра плота.) Давай сделаем так: пусть ось $x$ направлена вдоль плота. Начало координат находится в начальном положении центра плота. Тогда начальные координаты мальчиков относительно центра плота: Мальчик $m_2$: $x_2 = -L/2$ Мальчик $m_3$: $x_3 = L/2$ Центр плота: $x_1 = 0$ Начальная координата центра масс системы: $$X_{цм, нач} = \frac{m_2 \cdot (-L/2) + m_3 \cdot (L/2) + m_1 \cdot 0}{m_1 + m_2 + m_3}$$ $$X_{цм, нач} = \frac{(m_3 - m_2) \cdot L/2}{m_1 + m_2 + m_3}$$ Когда мальчики встречаются в центре плота, плот смещается на расстояние $\Delta x$. Конечные координаты мальчиков относительно земли: $\Delta x$ Конечная координата центра плота относительно земли: $\Delta x$ Конечная координата центра масс системы: $$X_{цм, кон} = \frac{(m_2 + m_3) \cdot \Delta x + m_1 \cdot \Delta x}{m_1 + m_2 + m_3}$$ $$X_{цм, кон} = \frac{(m_1 + m_2 + m_3) \cdot \Delta x}{m_1 + m_2 + m_3} = \Delta x$$ Приравниваем начальную и конечную координаты центра масс: $$\Delta x = \frac{(m_3 - m_2) \cdot L/2}{m_1 + m_2 + m_3}$$ Теперь подставим значения: $m_1 = 400 \text{ кг}$ $m_2 = 60 \text{ кг}$ $m_3 = 40 \text{ кг}$ $L = 10 \text{ м}$ $$\Delta x = \frac{(40 \text{ кг} - 60 \text{ кг}) \cdot 10 \text{ м} / 2}{400 \text{ кг} + 60 \text{ кг} + 40 \text{ кг}}$$ $$\Delta x = \frac{(-20 \text{ кг}) \cdot 5 \text{ м}}{500 \text{ кг}}$$ $$\Delta x = \frac{-100 \text{ кг} \cdot \text{ м}}{500 \text{ кг}}$$ $$\Delta x = -0.2 \text{ м}$$ Знак минус означает, что плот сместился в сторону мальчика с большей массой, то есть в сторону, противоположную движению мальчика с меньшей массой. В нашем случае, если $m_2$ (60 кг) был слева, а $m_3$ (40 кг) справа, то плот сместится влево. **Ответ: плот сместится на 0,2 м.**