Решите задачу: Грань $ABCD$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является квадратом. Найдите расстояние между прямыми $AC$ и $B_1D$, если известно, что $AB = 4, AA_1 = 2$.

Для решения задачи введем систему координат. Пусть точка $A$ будет в начале координат $(0,0,0)$. Так как грань $ABCD$ является квадратом и $AB=4$, то координаты вершин будут: $A=(0,0,0)$ $B=(4,0,0)$ $C=(4,4,0)$ $D=(0,4,0)$ Высота параллелепипеда $AA_1 = 2$, поэтому координаты вершин верхнего основания: $A_1=(0,0,2)$ $B_1=(4,0,2)$ $C_1=(4,4,2)$ $D_1=(0,4,2)$ Прямая $AC$ проходит через точки $A(0,0,0)$ и $C(4,4,0)$. Вектор $\vec{AC} = (4,4,0)$. Параметрические уравнения прямой $AC$: $x=4t, y=4t, z=0$. Прямая $B_1D$ проходит через точки $B_1(4,0,2)$ и $D(0,4,0)$. Вектор $\vec{B_1D} = (0-4, 4-0, 0-2) = (-4,4,-2)$. Параметрические уравнения прямой $B_1D$: $x=4-4s, y=4s, z=2-2s$. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми находится по формуле: $$d = \frac{|(\vec{M_1M_2}, \vec{a}, \vec{b})|}{|[\vec{a}, \vec{b}]|}$$ где $\vec{a}$ и $\vec{b}$ — направляющие векторы прямых, а $\vec{M_1M_2}$ — вектор, соединяющий точки на этих прямых. Вектор $\vec{a} = \vec{AC} = (4,4,0)$. Вектор $\vec{b} = \vec{B_1D} = (-4,4,-2)$. Возьмем точку $M_1=A=(0,0,0)$ на прямой $AC$ и точку $M_2=B_1=(4,0,2)$ на прямой $B_1D$. Вектор $\vec{M_1M_2} = \vec{AB_1} = (4,0,2)$. Найдем смешанное произведение $(\vec{M_1M_2}, \vec{a}, \vec{b})$: $$(\vec{M_1M_2}, \vec{a}, \vec{b}) = \begin{vmatrix} 4 & 0 & 2 \\ 4 & 4 & 0 \\ -4 & 4 & -2 \end{vmatrix}$$ $$= 4 \cdot (4 \cdot (-2) - 0 \cdot 4) - 0 \cdot (4 \cdot (-2) - 0 \cdot (-4)) + 2 \cdot (4 \cdot 4 - 4 \cdot (-4))$$ $$= 4 \cdot (-8) - 0 + 2 \cdot (16 + 16)$$ $$= -32 + 2 \cdot 32 = -32 + 64 = 32$$ Найдем векторное произведение $[\vec{a}, \vec{b}]$: $$[\vec{a}, \vec{b}] = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4 & 4 & 0 \\ -4 & 4 & -2 \end{vmatrix}$$ $$= \vec{i} \cdot (4 \cdot (-2) - 0 \cdot 4) - \vec{j} \cdot (4 \cdot (-2) - 0 \cdot (-4)) + \vec{k} \cdot (4 \cdot 4 - 4 \cdot (-4))$$ $$= \vec{i} \cdot (-8) - \vec{j} \cdot (-8) + \vec{k} \cdot (16 + 16)$$ $$= -8\vec{i} + 8\vec{j} + 32\vec{k} = (-8, 8, 32)$$ Найдем модуль векторного произведения $|[\vec{a}, \vec{b}]|$: $$|[\vec{a}, \vec{b}]| = \sqrt{(-8)^2 + 8^2 + 32^2}$$ $$= \sqrt{64 + 64 + 1024} = \sqrt{128 + 1024} = \sqrt{1152}$$ $$= \sqrt{576 \cdot 2} = 24\sqrt{2}$$ Теперь найдем расстояние $d$: $$d = \frac{|32|}{24\sqrt{2}} = \frac{32}{24\sqrt{2}} = \frac{4}{3\sqrt{2}}$$ Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$: $$d = \frac{4\sqrt{2}}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{3 \cdot 2} = \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$ **Ответ:** $\frac{2\sqrt{2}}{3}$