Вычислить точки экстремума заданной функции $y = \sqrt{2}x - 2\cos x, x \in \left[-\frac{\pi}{2}; \pi\right]$ и определить их характер.

1. Найдем производную функции: $$y' = (\sqrt{2}x - 2\cos x)' = \sqrt{2} + 2\sin x$$ 2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $$\sqrt{2} + 2\sin x = 0$$ $$2\sin x = -\sqrt{2}$$ $$\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ 3. Найдем значения $x$ из интервала $\left[-\frac{\pi}{2}; \pi\right]$, при которых $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$: В заданном интервале это $x = -\frac{\pi}{4}$. Переведем радианную меру в градусы: $$-\frac{\pi}{4} = -\frac{180^\circ}{4} = -45^\circ$$ 4. Определим характер точки экстремума с помощью второй производной: $$y'' = (\sqrt{2} + 2\sin x)' = 2\cos x$$ Вычислим значение второй производной в точке $x = -\frac{\pi}{4}$: $$y''\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 2\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$$ Так как $y''\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} > 0$, то в точке $x = -\frac{\pi}{4}$ функция имеет локальный минимум. **Ответ:** $x = -45^\circ$, и эта точка является точкой минимума.