Найди экстремумы функции $f(x) = 8x^3 + 7x^2 - 2x + 2$. Максимум в точке $x = $; Минимум в точке $x = $

Чтобы найти экстремумы функции, нужно найти её производную и приравнять её к нулю. Дана функция: $f(x) = 8x^3 + 7x^2 - 2x + 2$. 1. Найдем производную функции: $$f'(x) = (8x^3 + 7x^2 - 2x + 2)' = 24x^2 + 14x - 2$$ 2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $$24x^2 + 14x - 2 = 0$$ Разделим все на 2: $$12x^2 + 7x - 1 = 0$$ Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-1) = 49 + 48 = 97$$ Найдем корни $x_1$ и $x_2$: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$x_1 = \frac{-7 - \sqrt{97}}{2 \cdot 12} = \frac{-7 - \sqrt{97}}{24}$$ $$x_2 = \frac{-7 + \sqrt{97}}{2 \cdot 12} = \frac{-7 + \sqrt{97}}{24}$$ 3. Определим знаки производной на интервалах, чтобы понять, где функция возрастает, а где убывает. Приближенные значения корней: $$\sqrt{97} \approx 9.85$$ $$x_1 \approx \frac{-7 - 9.85}{24} = \frac{-16.85}{24} \approx -0.7$$ $$x_2 \approx \frac{-7 + 9.85}{24} = \frac{2.85}{24} \approx 0.12$$ Возьмём точки на интервалах: $x < x_1$, $x_1 < x < x_2$, $x > x_2$. - Для $x = -1$ (меньше $x_1$): $f'(-1) = 24(-1)^2 + 14(-1) - 2 = 24 - 14 - 2 = 8 > 0$ (функция возрастает) - Для $x = 0$ (между $x_1$ и $x_2$): $f'(0) = 24(0)^2 + 14(0) - 2 = -2 < 0$ (функция убывает) - Для $x = 1$ (больше $x_2$): $f'(1) = 24(1)^2 + 14(1) - 2 = 24 + 14 - 2 = 36 > 0$ (функция возрастает) 4. Сделаем выводы о точках максимума и минимума: - В точке $x_1 = \frac{-7 - \sqrt{97}}{24}$ функция меняет возрастание на убывание, значит это точка максимума. - В точке $x_2 = \frac{-7 + \sqrt{97}}{24}$ функция меняет убывание на возрастание, значит это точка минимума. **Ответ:** Максимум в точке $x = \frac{-7 - \sqrt{97}}{24}$ Минимум в точке $x = \frac{-7 + \sqrt{97}}{24}