Решите неравенство $3x^2 - 10x + 4 < 1$

а) $3x^2 - 10x + 4 < 1$ Переносим 1 в левую часть: $$3x^2 - 10x + 4 - 1 < 0$$ $$3x^2 - 10x + 3 < 0$$ Найдём корни квадратного уравнения $3x^2 - 10x + 3 = 0$ с помощью дискриминанта. $$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$$ $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$x_1 = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$ $$x_2 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$$ Парабола $y = 3x^2 - 10x + 3$ с ветвями вверх пересекает ось $x$ в точках $x = \frac{1}{3}$ и $x = 3$. Неравенство $3x^2 - 10x + 3 < 0$ выполняется, когда график функции находится ниже оси $x$. **Ответ: $(\frac{1}{3}; 3)$** б) $-3x^2 + 7x + 4 < -2$ Переносим -2 в левую часть: $$-3x^2 + 7x + 4 + 2 < 0$$ $$-3x^2 + 7x + 6 < 0$$ Умножим всё на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным. При этом знак неравенства поменяется: $$3x^2 - 7x - 6 > 0$$ Найдём корни квадратного уравнения $3x^2 - 7x - 6 = 0$. $$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121$$ $$x_1 = \frac{7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 11}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$$ $$x_2 = \frac{7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 11}{6} = \frac{18}{6} = 3$$ Парабола $y = 3x^2 - 7x - 6$ с ветвями вверх пересекает ось $x$ в точках $x = -\frac{2}{3}$ и $x = 3$. Неравенство $3x^2 - 7x - 6 > 0$ выполняется, когда график функции находится выше оси $x$. **Ответ: $(-\infty; -\frac{2}{3}) \cup (3; +\infty)$** в) $-5x^2 + 4x + 11 > 10$ Переносим 10 в левую часть: $$-5x^2 + 4x + 11 - 10 > 0$$ $$-5x^2 + 4x + 1 > 0$$ Умножим всё на -1: $$5x^2 - 4x - 1 < 0$$ Найдём корни квадратного уравнения $5x^2 - 4x - 1 = 0$. $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36$$ $$x_1 = \frac{4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{4 - 6}{10} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5}$$ $$x_2 = \frac{4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{4 + 6}{10} = \frac{10}{10} = 1$$ Парабола $y = 5x^2 - 4x - 1$ с ветвями вверх пересекает ось $x$ в точках $x = -\frac{1}{5}$ и $x = 1$. Неравенство $5x^2 - 4x - 1 < 0$ выполняется, когда график функции находится ниже оси $x$. **Ответ: $(-\frac{1}{5}; 1)$** г) $6x^2 + 7x - 2 \ge -3$ Переносим -3 в левую часть: $$6x^2 + 7x - 2 + 3 \ge 0$$ $$6x^2 + 7x + 1 \ge 0$$ Найдём корни квадратного уравнения $6x^2 + 7x + 1 = 0$. $$D = 7^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 49 - 24 = 25$$ $$x_1 = \frac{-7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-7 - 5}{12} = \frac{-12}{12} = -1$$ $$x_2 = \frac{-7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-7 + 5}{12} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$$ Парабола $y = 6x^2 + 7x + 1$ с ветвями вверх пересекает ось $x$ в точках $x = -1$ и $x = -\frac{1}{6}$. Неравенство $6x^2 + 7x + 1 \ge 0$ выполняется, когда график функции находится выше оси $x$ или на самой оси $x$. **Ответ: $(-\infty; -1] \cup [-\frac{1}{6}; +\infty)$**