Надо решить каждую систему неравенств.
### а)
$$ \begin{cases} 6x^2 - 54 \le 0 \\ x + 3 > 3 \end{cases} $$
Решаем первое неравенство:
$$ 6x^2 - 54 \le 0 $$
$$ 6x^2 \le 54 $$
$$ x^2 \le 9 $$
$$ -3 \le x \le 3 $$
Решаем второе неравенство:
$$ x + 3 > 3 $$
$$ x > 0 $$
Объединяем решения:
$$ \begin{cases} -3 \le x \le 3 \\ x > 0 \end{cases} $$
Пересечение этих интервалов: $$(0; 3]$$
**Ответ: (0; 3]**
### б)
$$ \begin{cases} 3x^2 + 2x - 1 \ge 0 \\ 2 - \frac{1}{2}x \ge 0 \end{cases} $$
Решаем первое неравенство. Найдем корни квадратного уравнения $3x^2 + 2x - 1 = 0$:
$$ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 $$
$$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 \pm 4}{6} $$
$$ x_1 = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$
$$ x_2 = \frac{-2 - 4}{6} = \frac{-6}{6} = -1 $$
Так как парабола $3x^2 + 2x - 1$ направлена ветвями вверх, $3x^2 + 2x - 1 \ge 0$ при $$ x \in (-\infty; -1] \cup [\frac{1}{3}; +\infty) $$
Решаем второе неравенство:
$$ 2 - \frac{1}{2}x \ge 0 $$
$$ -\frac{1}{2}x \ge -2 $$
$$ x \le 4 $$
Объединяем решения:
$$ \begin{cases} x \in (-\infty; -1] \cup [\frac{1}{3}; +\infty) \\ x \le 4 \end{cases} $$
Пересечение этих интервалов:
$$ (-\infty; -1] \cup [\frac{1}{3}; 4] $$
**Ответ: $(-\infty; -1] \cup [\frac{1}{3}; 4]$**
### в)
$$ \begin{cases} 6x^2 + 7x + 1 \le 0 \\ x^2 - 4 \ge 0 \end{cases} $$
Решаем первое неравенство. Найдем корни квадратного уравнения $6x^2 + 7x + 1 = 0$:
$$ D = 7^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 49 - 24 = 25 $$
$$ x_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-7 \pm 5}{12} $$
$$ x_1 = \frac{-7 + 5}{12} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6} $$
$$ x_2 = \frac{-7 - 5}{12} = \frac{-12}{12} = -1 $$
Так как парабола $6x^2 + 7x + 1$ направлена ветвями вверх, $6x^2 + 7x + 1 \le 0$ при $$ x \in [-1; -\frac{1}{6}] $$
Решаем второе неравенство:
$$ x^2 - 4 \ge 0 $$
$$ (x - 2)(x + 2) \ge 0 $$
$$ x \in (-\infty; -2] \cup [2; +\infty) $$
Объединяем решения:
$$ \begin{cases} x \in [-1; -\frac{1}{6}] \\ x \in (-\infty; -2] \cup [2; +\infty) \end{cases} $$
Эти интервалы не пересекаются.
**Ответ: нет решений**
### г)
$$ \begin{cases} x^2 - 1 \le 0 \\ x^2 - 3x > 0 \end{cases} $$
Решаем первое неравенство:
$$ x^2 - 1 \le 0 $$
$$ (x - 1)(x + 1) \le 0 $$
$$ x \in [-1; 1] $$
Решаем второе неравенство:
$$ x^2 - 3x > 0 $$
$$ x(x - 3) > 0 $$
$$ x \in (-\infty; 0) \cup (3; +\infty) $$
Объединяем решения:
$$ \begin{cases} x \in [-1; 1] \\ x \in (-\infty; 0) \cup (3; +\infty) \end{cases} $$
Пересечение этих интервалов:
$$ [-1; 0) $$
**Ответ: [-1; 0)**
### д)
$$ \begin{cases} x^2 + 5 > 0 \\ x^2 + 5x > 0 \end{cases} $$
Решаем первое неравенство:
$$ x^2 + 5 > 0 $$
Для любого действительного $x$, $x^2 \ge 0$, значит $x^2 + 5 \ge 5 > 0$. Это неравенство выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.
Решаем второе неравенство:
$$ x^2 + 5x > 0 $$
$$ x(x + 5) > 0 $$
Корни: $x = 0$, $x = -5$. Так как парабола направлена ветвями вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty; -5) \cup (0; +\infty)$.
Объединяем решения:
$$ \begin{cases} x \in \mathbb{R} \\ x \in (-\infty; -5) \cup (0; +\infty) \end{cases} $$
Пересечение этих интервалов:
$$ (-\infty; -5) \cup (0; +\infty) $$
**Ответ: $(-\infty; -5) \cup (0; +\infty)$**
### е)
$$ \begin{cases} -(x+1)^2 < 0 \\ 1-x \ge 0 \end{cases} $$
Решаем первое неравенство:
$$ -(x+1)^2 < 0 $$
$$ (x+1)^2 > 0 $$
Это неравенство верно для всех $x$, кроме тех, при которых $(x+1)^2 = 0$, то есть $x \ne -1$. Значит, $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.
Решаем второе неравенство:
$$ 1 - x \ge 0 $$
$$ -x \ge -1 $$
$$ x \le 1 $$
Объединяем решения:
$$ \begin{cases} x \in (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty) \\ x \le 1 \end{cases} $$
Пересечение этих интервалов:
$$ (-\infty; -1) \cup (-1; 1] $$
**Ответ: $(-\infty; -1) \cup (-1; 1]$**
