Вычислите интеграл $\int (2x - 1)\sin(3x)dx$

1. Замечательные пределы. 2. Вычислить $\int (2x - 1)\sin(3x)dx$ 3. Решить систему: $$\begin{cases} 4X_1 + 2X_2 + X_3 = 9 \\ X_1 + 2X_2 + 3X_3 = 8 \\ 3X_1 + X_2 - 4X_3 = 3 \end{cases}$$ **Допущение: для решения выбраны только задания 2 и 3, так как задание 1 является заголовком.** ### Решение задания 2 Для вычисления интеграла $\int (2x - 1)\sin(3x)dx$ используем метод интегрирования по частям, который выглядит так: $$\int u \,dv = uv - \int v \,du$$ Пусть $u = 2x - 1$ и $dv = \sin(3x)\,dx$. Тогда найдём $du$ и $v$: $$du = (2x - 1)'\,dx = 2\,dx$$ $$v = \int \sin(3x)\,dx = -\frac{1}{3}\cos(3x)$$ Теперь подставляем эти значения в формулу интегрирования по частям: $$\int (2x - 1)\sin(3x)\,dx = (2x - 1) \left(-\frac{1}{3}\cos(3x)\right) - \int \left(-\frac{1}{3}\cos(3x)\right) (2)\,dx$$ Раскроем скобки и упростим: $$= -\frac{1}{3}(2x - 1)\cos(3x) + \frac{2}{3}\int \cos(3x)\,dx$$ Вычислим оставшийся интеграл $\int \cos(3x)\,dx$: $$\int \cos(3x)\,dx = \frac{1}{3}\sin(3x) + C_1$$ Подставим это обратно в выражение: $$= -\frac{1}{3}(2x - 1)\cos(3x) + \frac{2}{3}\left(\frac{1}{3}\sin(3x)\right) + C$$ $$= -\frac{1}{3}(2x - 1)\cos(3x) + \frac{2}{9}\sin(3x) + C$$ **Ответ:** $\mathbf{-\frac{1}{3}(2x - 1)\cos(3x) + \frac{2}{9}\sin(3x) + C}$ ### Решение задания 3 Решим систему уравнений методом Крамера. Запишем систему в виде матрицы: $$\begin{pmatrix} 4 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X_1 \\ X_2 \\ X_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\ 8 \\ 3 \end{pmatrix}$$ Вычислим главный определитель системы $\Delta$: $$\Delta = \begin{vmatrix} 4 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & -4 \end{vmatrix} = 4(2(-4) - 3(1)) - 2(1(-4) - 3(3)) + 1(1(1) - 2(3))$$ $$ = 4(-8 - 3) - 2(-4 - 9) + 1(1 - 6)$$ $$ = 4(-11) - 2(-13) + 1(-5)$$ $$ = -44 + 26 - 5 = -23$$ Вычислим определитель $\Delta_1$ для $X_1$, заменив первый столбец на столбец свободных членов: $$\Delta_1 = \begin{vmatrix} 9 & 2 & 1 \\ 8 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & -4 \end{vmatrix} = 9(2(-4) - 3(1)) - 2(8(-4) - 3(3)) + 1(8(1) - 2(3))$$ $$ = 9(-8 - 3) - 2(-32 - 9) + 1(8 - 6)$$ $$ = 9(-11) - 2(-41) + 1(2)$$ $$ = -99 + 82 + 2 = -15$$ Вычислим определитель $\Delta_2$ для $X_2$, заменив второй столбец на столбец свободных членов: $$\Delta_2 = \begin{vmatrix} 4 & 9 & 1 \\ 1 & 8 & 3 \\ 3 & 3 & -4 \end{vmatrix} = 4(8(-4) - 3(3)) - 9(1(-4) - 3(3)) + 1(1(3) - 8(3))$$ $$ = 4(-32 - 9) - 9(-4 - 9) + 1(3 - 24)$$ $$ = 4(-41) - 9(-13) + 1(-21)$$ $$ = -164 + 117 - 21 = -68$$ Вычислим определитель $\Delta_3$ для $X_3$, заменив третий столбец на столбец свободных членов: $$\Delta_3 = \begin{vmatrix} 4 & 2 & 9 \\ 1 & 2 & 8 \\ 3 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 4(2(3) - 8(1)) - 2(1(3) - 8(3)) + 9(1(1) - 2(3))$$ $$ = 4(6 - 8) - 2(3 - 24) + 9(1 - 6)$$ $$ = 4(-2) - 2(-21) + 9(-5)$$ $$ = -8 + 42 - 45 = -11$$ Теперь найдём значения $X_1, X_2, X_3$: $$X_1 = \frac{\Delta_1}{\Delta} = \frac{-15}{-23} = \frac{15}{23}$$ $$X_2 = \frac{\Delta_2}{\Delta} = \frac{-68}{-23} = \frac{68}{23}$$ $$X_3 = \frac{\Delta_3}{\Delta} = \frac{-11}{-23} = \frac{11}{23}$$ **Ответ:** $\mathbf{X_1 = \frac{15}{23}, X_2 = \frac{68}{23}, X_3 = \frac{11}{23}}$