Решите графически систему уравнений: 1) xy = 6, x - y = 5

1. Система уравнений: $$\begin{cases} xy = 6 \\ x - y = 5 \end{cases}$$ Выразим $x$ из второго уравнения: $x = y + 5$. Подставим в первое уравнение: $$(y+5)y = 6$$ $$y^2 + 5y - 6 = 0$$ Найдём корни квадратного уравнения: $$y = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-5 \pm 7}{2}$$ $$y_1 = \frac{-5 + 7}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ $$y_2 = \frac{-5 - 7}{2} = \frac{-12}{2} = -6$$ Теперь найдём соответствующие значения $x$: При $y_1 = 1$: $x_1 = 1 + 5 = 6$ При $y_2 = -6$: $x_2 = -6 + 5 = -1$ Итак, точки пересечения графиков это $(6, 1)$ и $(-1, -6)$. Первое уравнение $xy=6$ можно переписать как $y = \frac{6}{x}$ (это гипербола). Второе уравнение $x-y=5$ можно переписать как $y = x-5$ (это прямая). :::div .chart-container @chart-1::: **Ответ: (6; 1) и (-1; -6)** 2. Система уравнений: $$\begin{cases} y = x^2 + 2x - 2 \\ y = 2 - x \end{cases}$$ Приравняем правые части уравнений: $$x^2 + 2x - 2 = 2 - x$$ $$x^2 + 2x + x - 2 - 2 = 0$$ $$x^2 + 3x - 4 = 0$$ Найдём корни квадратного уравнения: $$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 \pm 5}{2}$$ $$x_1 = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ $$x_2 = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$ Теперь найдём соответствующие значения $y$: При $x_1 = 1$: $y_1 = 2 - 1 = 1$ При $x_2 = -4$: $y_2 = 2 - (-4) = 2 + 4 = 6$ Итак, точки пересечения графиков это $(1, 1)$ и $(-4, 6)$. Первое уравнение $y=x^2+2x-2$ это парабола. Второе уравнение $y=2-x$ это прямая. :::div .chart-container @chart-2::: **Ответ: (1; 1) и (-4; 6)** 3. Система уравнений: $$\begin{cases} x^2 + y = 5 \\ x - y = 7 \end{cases}$$ Из второго уравнения выразим $y$: $y = x - 7$. Подставим в первое уравнение: $$x^2 + (x - 7) = 5$$ $$x^2 + x - 7 - 5 = 0$$ $$x^2 + x - 12 = 0$$ Найдём корни квадратного уравнения: $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 \pm 7}{2}$$ $$x_1 = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ $$x_2 = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$ Теперь найдём соответствующие значения $y$: При $x_1 = 3$: $y_1 = 3 - 7 = -4$ При $x_2 = -4$: $y_2 = -4 - 7 = -11$ Итак, точки пересечения графиков это $(3, -4)$ и $(-4, -11)$. Первое уравнение $y = 5 - x^2$ это парабола. Второе уравнение $y = x - 7$ это прямая. :::div .chart-container @chart-3::: **Ответ: (3; -4) и (-4; -11)** 4. Система уравнений: $$\begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ y = x - 2 \end{cases}$$ Подставим второе уравнение в первое: $$x^2 + (x-2)^2 = 10$$ $$x^2 + x^2 - 4x + 4 = 10$$ $$2x^2 - 4x + 4 - 10 = 0$$ $$2x^2 - 4x - 6 = 0$$ Разделим все на 2: $$x^2 - 2x - 3 = 0$$ Найдём корни квадратного уравнения: $$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}$$ $$x_1 = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ $$x_2 = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ Теперь найдём соответствующие значения $y$: При $x_1 = 3$: $y_1 = 3 - 2 = 1$ При $x_2 = -1$: $y_2 = -1 - 2 = -3$ Итак, точки пересечения графиков это $(3, 1)$ и $(-1, -3)$. Первое уравнение $x^2 + y^2 = 10$ это окружность с центром в $(0,0)$ и радиусом $\sqrt{10}$. Второе уравнение $y = x - 2$ это прямая. :::div .chart-container @chart-4::: **Ответ: (3; 1) и (-1; -3)** 5. Система уравнений: $$\begin{cases} (x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 13 \\ x - y - 5 = 0 \end{cases}$$ Из второго уравнения выразим $y$: $y = x - 5$. Подставим в первое уравнение: $$(x - 3)^2 + ( (x - 5) + 1 )^2 = 13$$ $$(x - 3)^2 + (x - 4)^2 = 13$$ Раскроем скобки: $$(x^2 - 6x + 9) + (x^2 - 8x + 16) = 13$$ $$x^2 - 6x + 9 + x^2 - 8x + 16 - 13 = 0$$ $$2x^2 - 14x + 12 = 0$$ Разделим все на 2: $$x^2 - 7x + 6 = 0$$ Найдём корни квадратного уравнения: $$x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{7 \pm 5}{2}$$ $$x_1 = \frac{7 + 5}{2} = \frac{12}{2} = 6$$ $$x_2 = \frac{7 - 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ Теперь найдём соответствующие значения $y$: При $x_1 = 6$: $y_1 = 6 - 5 = 1$ При $x_2 = 1$: $y_2 = 1 - 5 = -4$ Итак, точки пересечения графиков это $(6, 1)$ и $(1, -4)$. Первое уравнение $(x-3)^2+(y+1)^2=13$ это окружность с центром в $(3,-1)$ и радиусом $\sqrt{13}$. Второе уравнение $y = x - 5$ это прямая. :::div .chart-container @chart-5::: **Ответ: (6; 1) и (1; -4)** 6. Система уравнений: $$\begin{cases} x^2 + y^2 = 20 \\ xy = -8 \end{cases}$$ Из второго уравнения выразим $y$: $y = -\frac{8}{x}$. Подставим в первое уравнение: $$x^2 + \left(-\frac{8}{x}\right)^2 = 20$$ $$x^2 + \frac{64}{x^2} = 20$$ Умножим все на $x^2$ (при условии $x \neq 0$): $$x^4 + 64 = 20x^2$$ $$x^4 - 20x^2 + 64 = 0$$ Сделаем замену $t = x^2$ (при этом $t \ge 0$): $$t^2 - 20t + 64 = 0$$ Найдём корни квадратного уравнения: $$t = \frac{-(-20) \pm \sqrt{(-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1} = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 256}}{2} = \frac{20 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{20 \pm 12}{2}$$ $$t_1 = \frac{20 + 12}{2} = \frac{32}{2} = 16$$ $$t_2 = \frac{20 - 12}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ Вернёмся к $x^2 = t$: Для $t_1 = 16$: $x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm 4$ Для $t_2 = 4$: $x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$ Теперь найдём соответствующие значения $y$: При $x_1 = 4$: $y_1 = -\frac{8}{4} = -2$ При $x_2 = -4$: $y_2 = -\frac{8}{-4} = 2$ При $x_3 = 2$: $y_3 = -\frac{8}{2} = -4$ При $x_4 = -2$: $y_4 = -\frac{8}{-2} = 4$ Итак, точки пересечения графиков это $(4, -2)$, $(-4, 2)$, $(2, -4)$ и $(-2, 4)$. Первое уравнение $x^2 + y^2 = 20$ это окружность с центром в $(0,0)$ и радиусом $\sqrt{20}$. Второе уравнение $xy = -8$ можно переписать как $y = -\frac{8}{x}$ (это гипербола). :::div .chart-container @chart-6::: **Ответ: (4; -2), (-4; 2), (2; -4), (-2; 4)**