Решите неравенство $\frac{x^4 - 3x^3 + 2x^2}{x^2 - x - 30} \geq 0$

1. Сначала найдём область допустимых значений (ОДЗ) для неравенства. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x^2 - x - 30 \neq 0$. Раскладываем квадратный трёхчлен на множители: $(x-6)(x+5) \neq 0$. Значит, $x \neq 6$ и $x \neq -5$. Далее упростим числитель. Вынесем $x^2$ за скобки: $$x^4 - 3x^3 + 2x^2 = x^2(x^2 - 3x + 2)$$ Квадратный трёхчлен в скобках можно разложить на множители: $(x-1)(x-2)$. Тогда числитель будет выглядеть так: $$x^2(x-1)(x-2)$$ Изначальное неравенство примет вид: $$\frac{x^2(x-1)(x-2)}{(x-6)(x+5)} \geq 0$$ Теперь используем метод интервалов. Корни числителя: $x=0$ (корень кратности 2), $x=1$, $x=2$. Корни знаменателя: $x=-5$, $x=6$. Эти точки делят числовую прямую на интервалы: $(-\infty; -5)$, $(-5; 0)$, $0$, $(0; 1)$, $(1; 2)$, $(2; 6)$, $(6; +\infty)$ Расставляем знаки: - На интервале $(6; +\infty)$, например $x=7$: $\frac{7^2(7-1)(7-2)}{(7-6)(7+5)} = \frac{49 \cdot 6 \cdot 5}{1 \cdot 12} > 0$. Знак `+`. - На интервале $(2; 6)$, например $x=3$: $\frac{3^2(3-1)(3-2)}{(3-6)(3+5)} = \frac{9 \cdot 2 \cdot 1}{-3 \cdot 8} < 0$. Знак `-`. - На интервале $(1; 2)$, например $x=1.5$: $\frac{1.5^2(1.5-1)(1.5-2)}{(1.5-6)(1.5+5)} = \frac{+ \cdot + \cdot -}{- \cdot +} > 0$. Знак `+`. - На интервале $(0; 1)$, например $x=0.5$: $\frac{0.5^2(0.5-1)(0.5-2)}{(0.5-6)(0.5+5)} = \frac{+ \cdot - \cdot -}{- \cdot +} > 0$. Знак `+`. - В точке $x=0$: числитель равен 0, знаменатель не равен 0, неравенство выполняется. $x=0$ - решение. - На интервале $(-5; 0)$, например $x=-1$: $\frac{(-1)^2(-1-1)(-1-2)}{(-1-6)(-1+5)} = \frac{1 \cdot (-2) \cdot (-3)}{(-7) \cdot 4} < 0$. Знак `-`. - На интервале $(-\infty; -5)$, например $x=-6$: $\frac{(-6)^2(-6-1)(-6-2)}{(-6-6)(-6+5)} = \frac{36 \cdot (-7) \cdot (-8)}{(-12) \cdot (-1)} > 0$. Знак `+`. Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно 0. Учитывая, что $x \neq -5$ и $x \neq 6$. Таким образом, решения: $x \in (-\infty; -5) \cup [1; 2] \cup (6; +\infty)$, а также $x=0$. **Ответ:** $x \in (-\infty; -5) \cup \{0\} \cup [1; 2] \cup (6; +\infty)$