Решить неравенство $\frac{x^2-10x+25}{5-4x-x^2} \ge 0$

1) Решить неравенство: $$\frac{x^2-10x+25}{5-4x-x^2} \ge 0$$ Сначала найдём корни числителя и знаменателя. Числитель: $x^2-10x+25 = (x-5)^2$ Корень числителя: $x=5$ Знаменатель: $5-4x-x^2 = -(x^2+4x-5) = -(x+5)(x-1)$ Корни знаменателя: $x=-5$, $x=1$ Перепишем неравенство: $$\frac{(x-5)^2}{-(x+5)(x-1)} \ge 0$$ Умножим обе части на -1, поменяв знак неравенства: $$\frac{(x-5)^2}{(x+5)(x-1)} \le 0$$ Теперь используем метод интервалов. Отметим на числовой прямой точки -5, 1, 5. Точки -5 и 1 будут выколотыми, так как они в знаменателе. Точка 5 будет закрашенной, так как неравенство нестрогое. Интервалы: 1. $(-\infty; -5)$: Возьмём $x = -6$: $$\frac{(-6-5)^2}{(-6+5)(-6-1)} = \frac{(-11)^2}{(-1)(-7)} = \frac{121}{7} > 0$$ (не подходит) 2. $(-5; 1)$: Возьмём $x = 0$: $$\frac{(0-5)^2}{(0+5)(0-1)} = \frac{25}{(5)(-1)} = \frac{25}{-5} = -5 \le 0$$ (подходит) 3. $(1; 5)$: Возьмём $x = 2$: $$\frac{(2-5)^2}{(2+5)(2-1)} = \frac{(-3)^2}{(7)(1)} = \frac{9}{7} > 0$$ (не подходит) 4. $(5; +\infty)$: Возьмём $x = 6$: $$\frac{(6-5)^2}{(6+5)(6-1)} = \frac{1^2}{(11)(5)} = \frac{1}{55} > 0$$ (не подходит) Также нужно проверить точку $x=5$. В этой точке числитель равен 0, а знаменатель не равен 0, поэтому неравенство $\frac{0}{\text{число}} \le 0$ выполняется. Учитывая, что $(x-5)^2 \ge 0$ для всех $x$, знак неравенства определяется только знаменателем, но с учетом того, что $x=5$ является корнем числителя. Нам нужно, чтобы $\frac{(x-5)^2}{(x+5)(x-1)} \le 0$. Это возможно, если знаменатель $(x+5)(x-1)$ отрицательный, или если $x=5$. $(x+5)(x-1) < 0$ при $x \in (-5; 1)$. Объединяя это с точкой $x=5$, получаем интервал $(-5; 1]$ и изолированную точку $x=5$. **Ответ:** $x \in (-5; 1) \cup \{5\}$